Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58631 / 88260
↖ ↑ ↗
← S 52.809403°
W 18.965149°		 ← 184.62 m → S 52.809403°
W 18.962402°		 →
↑
184.63 m
↓
↑
184.63 m
↓
S 52.811063°
W 18.965149°		 ← 184.61 m →
34 086 m²		 S 52.811063°
W 18.962402°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58631 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88260 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447322845458984 y=0.673374176025391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447322845458984 × 217)
    floor (0.447322845458984 × 131072)
    floor (58631.5)     		tx = 58631
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.673374176025391 × 217)
    floor (0.673374176025391 × 131072)
    floor (88260.5)     		ty = 88260
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58631 / 88260 ti = "17/58631/88260"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58631/88260.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58631 ÷ 217
    58631 ÷ 131072     		x = 0.447319030761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88260 ÷ 217
    88260 ÷ 131072     		y = 0.673370361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447319030761719 × 2 - 1) × π
    -0.105361938476562 × 3.1415926535     		Λ = -0.33100429
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.673370361328125 × 2 - 1) × π
    -0.34674072265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.08931810696616
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33100429} λ = -0.33100429}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.08931810696616))-π/2
    2×atan(0.33644583557608)-π/2
    2×0.324549185877631-π/2
    0.649098371755263-1.57079632675     		φ = -0.92169795
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33100429} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.965149°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92169795 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.809403°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58631 KachelY 88260 -0.33100429 -0.92169795 -18.965149 -52.809403
    Oben rechts KachelX + 1 58632 KachelY 88260 -0.33095635 -0.92169795 -18.962402 -52.809403
    Unten links KachelX 58631 KachelY + 1 88261 -0.33100429 -0.92172693 -18.965149 -52.811063
    Unten rechts KachelX + 1 58632 KachelY + 1 88261 -0.33095635 -0.92172693 -18.962402 -52.811063
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92169795--0.92172693) × R
    2.89800000000673e-05 × 6371000     		dl = 184.631580000429m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92169795--0.92172693) × R
    2.89800000000673e-05 × 6371000     		dr = 184.631580000429m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33100429--0.33095635) × cos(-0.92169795) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.604468392221927 × 6371000     		do = 184.620206000871m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33100429--0.33095635) × cos(-0.92172693) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.604445305656059 × 6371000     		du = 184.613154769407m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92169795)-sin(-0.92172693))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.604468392221927-0.604445305656059)×R²
    abs(-0.33095635--0.33100429)×2.30865658679136e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.30865658679136e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.30865658679136e-05×40589641000000     		ar = 34086.0693963002m²