Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58628 / 88493
↖ ↑ ↗
← S 53.194516°
W 18.973389°		 ← 182.94 m → S 53.194516°
W 18.970642°		 →
↑
182.98 m
↓
↑
182.98 m
↓
S 53.196161°
W 18.973389°		 ← 182.94 m →
33 473 m²		 S 53.196161°
W 18.970642°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58628 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88493 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447299957275391 y=0.675151824951172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447299957275391 × 217)
    floor (0.447299957275391 × 131072)
    floor (58628.5)     		tx = 58628
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.675151824951172 × 217)
    floor (0.675151824951172 × 131072)
    floor (88493.5)     		ty = 88493
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58628 / 88493 ti = "17/58628/88493"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58628/88493.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58628 ÷ 217
    58628 ÷ 131072     		x = 0.447296142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88493 ÷ 217
    88493 ÷ 131072     		y = 0.675148010253906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447296142578125 × 2 - 1) × π
    -0.10540771484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.33114810
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.675148010253906 × 2 - 1) × π
    -0.350296020507812 × 3.1415926535     		Φ = -1.10048740457763
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33114810} λ = -0.33114810}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.10048740457763))-π/2
    2×atan(0.332708880340665)-π/2
    2×0.321188441458502-π/2
    0.642376882917003-1.57079632675     		φ = -0.92841944
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33114810} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.973389°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92841944 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.194516°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58628 KachelY 88493 -0.33114810 -0.92841944 -18.973389 -53.194516
    Oben rechts KachelX + 1 58629 KachelY 88493 -0.33110017 -0.92841944 -18.970642 -53.194516
    Unten links KachelX 58628 KachelY + 1 88494 -0.33114810 -0.92844816 -18.973389 -53.196161
    Unten rechts KachelX + 1 58629 KachelY + 1 88494 -0.33110017 -0.92844816 -18.970642 -53.196161
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92841944--0.92844816) × R
    2.87199999999821e-05 × 6371000     		dl = 182.975119999886m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92841944--0.92844816) × R
    2.87199999999821e-05 × 6371000     		dr = 182.975119999886m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33114810--0.33110017) × cos(-0.92841944) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.599100243428249 × 6371000     		do = 182.942466506645m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33114810--0.33110017) × cos(-0.92844816) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.599077247823102 × 6371000     		du = 182.935444521976m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92841944)-sin(-0.92844816))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.599100243428249-0.599077247823102)×R²
    abs(-0.33110017--0.33114810)×2.29956051472913e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.29956051472913e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.29956051472913e-05×40589641000000     		ar = 33473.27734013m²