Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58627 / 88319
↖ ↑ ↗
← S 52.907245°
W 18.976135°		 ← 184.20 m → S 52.907245°
W 18.973389°		 →
↑
184.19 m
↓
↑
184.19 m
↓
S 52.908902°
W 18.976135°		 ← 184.20 m →
33 927 m²		 S 52.908902°
W 18.973389°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58627 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88319 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447292327880859 y=0.673824310302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447292327880859 × 217)
    floor (0.447292327880859 × 131072)
    floor (58627.5)     		tx = 58627
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.673824310302734 × 217)
    floor (0.673824310302734 × 131072)
    floor (88319.5)     		ty = 88319
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58627 / 88319 ti = "17/58627/88319"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58627/88319.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58627 ÷ 217
    58627 ÷ 131072     		x = 0.447288513183594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88319 ÷ 217
    88319 ÷ 131072     		y = 0.673820495605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447288513183594 × 2 - 1) × π
    -0.105422973632812 × 3.1415926535     		Λ = -0.33119604
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.673820495605469 × 2 - 1) × π
    -0.347640991210938 × 3.1415926535     		Φ = -1.09214638404374
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33119604} λ = -0.33119604}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.09214638404374))-π/2
    2×atan(0.335495617904313)-π/2
    2×0.323695346498868-π/2
    0.647390692997736-1.57079632675     		φ = -0.92340563
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33119604} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.976135°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92340563 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.907245°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58627 KachelY 88319 -0.33119604 -0.92340563 -18.976135 -52.907245
    Oben rechts KachelX + 1 58628 KachelY 88319 -0.33114810 -0.92340563 -18.973389 -52.907245
    Unten links KachelX 58627 KachelY + 1 88320 -0.33119604 -0.92343454 -18.976135 -52.908902
    Unten rechts KachelX + 1 58628 KachelY + 1 88320 -0.33114810 -0.92343454 -18.973389 -52.908902
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92340563--0.92343454) × R
    2.89100000000486e-05 × 6371000     		dl = 184.18561000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92340563--0.92343454) × R
    2.89100000000486e-05 × 6371000     		dr = 184.18561000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33119604--0.33114810) × cos(-0.92340563) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.603107123892549 × 6371000     		do = 184.204439614246m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33119604--0.33114810) × cos(-0.92343454) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.603084063284091 × 6371000     		du = 184.197396310843m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92340563)-sin(-0.92343454))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.603107123892549-0.603084063284091)×R²
    abs(-0.33114810--0.33119604)×2.30606084580254e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.30606084580254e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.30606084580254e-05×40589641000000     		ar = 33927.1584399145m²