Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58626 / 88530
↖ ↑ ↗
← S 53.255355°
W 18.978882°		 ← 182.72 m → S 53.255355°
W 18.976135°		 →
↑
182.72 m
↓
↑
182.72 m
↓
S 53.256998°
W 18.978882°		 ← 182.71 m →
33 386 m²		 S 53.256998°
W 18.976135°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58626 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88530 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447284698486328 y=0.675434112548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447284698486328 × 217)
    floor (0.447284698486328 × 131072)
    floor (58626.5)     		tx = 58626
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.675434112548828 × 217)
    floor (0.675434112548828 × 131072)
    floor (88530.5)     		ty = 88530
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58626 / 88530 ti = "17/58626/88530"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58626/88530.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58626 ÷ 217
    58626 ÷ 131072     		x = 0.447280883789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88530 ÷ 217
    88530 ÷ 131072     		y = 0.675430297851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447280883789062 × 2 - 1) × π
    -0.105438232421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33124398
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.675430297851562 × 2 - 1) × π
    -0.350860595703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.10226106986357
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33124398} λ = -0.33124398}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.10226106986357))-π/2
    2×atan(0.33211928917254)-π/2
    2×0.32065751698836-π/2
    0.64131503397672-1.57079632675     		φ = -0.92948129
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33124398} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.978882°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92948129 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.255355°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58626 KachelY 88530 -0.33124398 -0.92948129 -18.978882 -53.255355
    Oben rechts KachelX + 1 58627 KachelY 88530 -0.33119604 -0.92948129 -18.976135 -53.255355
    Unten links KachelX 58626 KachelY + 1 88531 -0.33124398 -0.92950997 -18.978882 -53.256998
    Unten rechts KachelX + 1 58627 KachelY + 1 88531 -0.33119604 -0.92950997 -18.976135 -53.256998
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92948129--0.92950997) × R
    2.86800000000031e-05 × 6371000     		dl = 182.72028000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92948129--0.92950997) × R
    2.86800000000031e-05 × 6371000     		dr = 182.72028000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33124398--0.33119604) × cos(-0.92948129) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.598249710121565 × 6371000     		do = 182.720860418545m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33124398--0.33119604) × cos(-0.92950997) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.598226728312452 × 6371000     		du = 182.71384118249m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92948129)-sin(-0.92950997))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.598249710121565-0.598226728312452)×R²
    abs(-0.33119604--0.33124398)×2.29818091130873e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.29818091130873e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.29818091130873e-05×40589641000000     		ar = 33386.1655013217m²