Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58625 / 88523
↖ ↑ ↗
← S 53.243852°
W 18.981628°		 ← 182.73 m → S 53.243852°
W 18.978882°		 →
↑
182.72 m
↓
↑
182.72 m
↓
S 53.245495°
W 18.981628°		 ← 182.72 m →
33 388 m²		 S 53.245495°
W 18.978882°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58625 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88523 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447277069091797 y=0.675380706787109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447277069091797 × 217)
    floor (0.447277069091797 × 131072)
    floor (58625.5)     		tx = 58625
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.675380706787109 × 217)
    floor (0.675380706787109 × 131072)
    floor (88523.5)     		ty = 88523
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58625 / 88523 ti = "17/58625/88523"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58625/88523.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58625 ÷ 217
    58625 ÷ 131072     		x = 0.447273254394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88523 ÷ 217
    88523 ÷ 131072     		y = 0.675376892089844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447273254394531 × 2 - 1) × π
    -0.105453491210938 × 3.1415926535     		Λ = -0.33129191
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.675376892089844 × 2 - 1) × π
    -0.350753784179688 × 3.1415926535     		Φ = -1.10192551156623
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33129191} λ = -0.33129191}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.10192551156623))-π/2
    2×atan(0.332230753256032)-π/2
    2×0.320757904310138-π/2
    0.641515808620275-1.57079632675     		φ = -0.92928052
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33129191} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.981628°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92928052 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.243852°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58625 KachelY 88523 -0.33129191 -0.92928052 -18.981628 -53.243852
    Oben rechts KachelX + 1 58626 KachelY 88523 -0.33124398 -0.92928052 -18.978882 -53.243852
    Unten links KachelX 58625 KachelY + 1 88524 -0.33129191 -0.92930920 -18.981628 -53.245495
    Unten rechts KachelX + 1 58626 KachelY + 1 88524 -0.33124398 -0.92930920 -18.978882 -53.245495
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92928052--0.92930920) × R
    2.86799999998921e-05 × 6371000     		dl = 182.720279999313m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92928052--0.92930920) × R
    2.86799999998921e-05 × 6371000     		dr = 182.720279999313m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33129191--0.33124398) × cos(-0.92928052) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.598410577017793 × 6371000     		do = 182.731868571736m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33129191--0.33124398) × cos(-0.92930920) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.598387598653849 × 6371000     		du = 182.724851851876m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92928052)-sin(-0.92930920))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.598410577017793-0.598387598653849)×R²
    abs(-0.33124398--0.33129191)×2.29783639441594e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.29783639441594e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.29783639441594e-05×40589641000000     		ar = 33388.1771439967m²