Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58622 / 87973
↖ ↑ ↗
← S 52.330304°
W 18.989868°		 ← 186.61 m → S 52.330304°
W 18.987122°		 →
↑
186.67 m
↓
↑
186.67 m
↓
S 52.331983°
W 18.989868°		 ← 186.60 m →
34 834 m²		 S 52.331983°
W 18.987122°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58622 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87973 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447254180908203 y=0.671184539794922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447254180908203 × 217)
    floor (0.447254180908203 × 131072)
    floor (58622.5)     		tx = 58622
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.671184539794922 × 217)
    floor (0.671184539794922 × 131072)
    floor (87973.5)     		ty = 87973
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58622 / 87973 ti = "17/58622/87973"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58622/87973.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58622 ÷ 217
    58622 ÷ 131072     		x = 0.447250366210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87973 ÷ 217
    87973 ÷ 131072     		y = 0.671180725097656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447250366210938 × 2 - 1) × π
    -0.105499267578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33143572
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.671180725097656 × 2 - 1) × π
    -0.342361450195312 × 3.1415926535     		Φ = -1.0755602167752
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33143572} λ = -0.33143572}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0755602167752))-π/2
    2×atan(0.341106608120064)-π/2
    2×0.328730111898114-π/2
    0.657460223796228-1.57079632675     		φ = -0.91333610
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33143572} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.989868°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91333610 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.330304°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58622 KachelY 87973 -0.33143572 -0.91333610 -18.989868 -52.330304
    Oben rechts KachelX + 1 58623 KachelY 87973 -0.33138779 -0.91333610 -18.987122 -52.330304
    Unten links KachelX 58622 KachelY + 1 87974 -0.33143572 -0.91336540 -18.989868 -52.331983
    Unten rechts KachelX + 1 58623 KachelY + 1 87974 -0.33138779 -0.91336540 -18.987122 -52.331983
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91333610--0.91336540) × R
    2.93000000000099e-05 × 6371000     		dl = 186.670300000063m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91333610--0.91336540) × R
    2.93000000000099e-05 × 6371000     		dr = 186.670300000063m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33143572--0.33138779) × cos(-0.91333610) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.611108475590565 × 6371000     		do = 186.609324656438m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33143572--0.33138779) × cos(-0.91336540) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.611085283005264 × 6371000     		du = 186.60224252151m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91333610)-sin(-0.91336540))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.611108475590565-0.611085283005264)×R²
    abs(-0.33138779--0.33143572)×2.31925853003689e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.31925853003689e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.31925853003689e-05×40589641000000     		ar = 34833.7576067618m²