Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58619 / 87981
↖ ↑ ↗
← S 52.343729°
W 18.998108°		 ← 186.55 m → S 52.343729°
W 18.995361°		 →
↑
186.61 m
↓
↑
186.61 m
↓
S 52.345408°
W 18.998108°		 ← 186.55 m →
34 811 m²		 S 52.345408°
W 18.995361°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58619 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87981 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447231292724609 y=0.671245574951172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447231292724609 × 217)
    floor (0.447231292724609 × 131072)
    floor (58619.5)     		tx = 58619
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.671245574951172 × 217)
    floor (0.671245574951172 × 131072)
    floor (87981.5)     		ty = 87981
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58619 / 87981 ti = "17/58619/87981"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58619/87981.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58619 ÷ 217
    58619 ÷ 131072     		x = 0.447227478027344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87981 ÷ 217
    87981 ÷ 131072     		y = 0.671241760253906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447227478027344 × 2 - 1) × π
    -0.105545043945312 × 3.1415926535     		Λ = -0.33157953
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.671241760253906 × 2 - 1) × π
    -0.342483520507812 × 3.1415926535     		Φ = -1.07594371197216
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33157953} λ = -0.33157953}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.07594371197216))-π/2
    2×atan(0.340975820454022)-π/2
    2×0.328612951100275-π/2
    0.657225902200549-1.57079632675     		φ = -0.91357042
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33157953} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.998108°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91357042 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.343729°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58619 KachelY 87981 -0.33157953 -0.91357042 -18.998108 -52.343729
    Oben rechts KachelX + 1 58620 KachelY 87981 -0.33153160 -0.91357042 -18.995361 -52.343729
    Unten links KachelX 58619 KachelY + 1 87982 -0.33157953 -0.91359971 -18.998108 -52.345408
    Unten rechts KachelX + 1 58620 KachelY + 1 87982 -0.33153160 -0.91359971 -18.995361 -52.345408
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91357042--0.91359971) × R
    2.92899999999596e-05 × 6371000     		dl = 186.606589999743m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91357042--0.91359971) × R
    2.92899999999596e-05 × 6371000     		dr = 186.606589999743m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33157953--0.33153160) × cos(-0.91357042) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.610922983555384 × 6371000     		do = 186.552682432243m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33157953--0.33153160) × cos(-0.91359971) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.610899794692268 × 6371000     		du = 186.545601433928m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91357042)-sin(-0.91359971))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.610922983555384-0.610899794692268)×R²
    abs(-0.33153160--0.33157953)×2.31888631164745e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.31888631164745e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.31888631164745e-05×40589641000000     		ar = 34811.2992460217m²