Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58617 / 88473
↖ ↑ ↗
← S 53.161593°
W 19.003601°		 ← 183.12 m → S 53.161593°
W 19.000854°		 →
↑
183.10 m
↓
↑
183.10 m
↓
S 53.163240°
W 19.003601°		 ← 183.11 m →
33 529 m²		 S 53.163240°
W 19.000854°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58617 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88473 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447216033935547 y=0.674999237060547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447216033935547 × 217)
    floor (0.447216033935547 × 131072)
    floor (58617.5)     		tx = 58617
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.674999237060547 × 217)
    floor (0.674999237060547 × 131072)
    floor (88473.5)     		ty = 88473
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58617 / 88473 ti = "17/58617/88473"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58617/88473.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58617 ÷ 217
    58617 ÷ 131072     		x = 0.447212219238281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88473 ÷ 217
    88473 ÷ 131072     		y = 0.674995422363281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447212219238281 × 2 - 1) × π
    -0.105575561523438 × 3.1415926535     		Λ = -0.33167541
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.674995422363281 × 2 - 1) × π
    -0.349990844726562 × 3.1415926535     		Φ = -1.09952866658523
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33167541} λ = -0.33167541}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.09952866658523))-π/2
    2×atan(0.333028013942967)-π/2
    2×0.321475741780544-π/2
    0.642951483561087-1.57079632675     		φ = -0.92784484
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33167541} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.003601°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92784484 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.161593°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58617 KachelY 88473 -0.33167541 -0.92784484 -19.003601 -53.161593
    Oben rechts KachelX + 1 58618 KachelY 88473 -0.33162747 -0.92784484 -19.000854 -53.161593
    Unten links KachelX 58617 KachelY + 1 88474 -0.33167541 -0.92787358 -19.003601 -53.163240
    Unten rechts KachelX + 1 58618 KachelY + 1 88474 -0.33162747 -0.92787358 -19.000854 -53.163240
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92784484--0.92787358) × R
    2.87399999999716e-05 × 6371000     		dl = 183.102539999819m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92784484--0.92787358) × R
    2.87399999999716e-05 × 6371000     		dr = 183.102539999819m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33167541--0.33162747) × cos(-0.92784484) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.599560211798127 × 6371000     		do = 183.121121363092m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33167541--0.33162747) × cos(-0.92787358) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.599537210076307 × 6371000     		du = 183.114096045184m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92784484)-sin(-0.92787358))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.599560211798127-0.599537210076307)×R²
    abs(-0.33162747--0.33167541)×2.30017218199041e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.30017218199041e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.30017218199041e-05×40589641000000     		ar = 33529.2992748091m²