Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58616 / 87960
↖ ↑ ↗
← S 52.308479°
W 19.006348°		 ← 186.74 m → S 52.308479°
W 19.003601°		 →
↑
186.73 m
↓
↑
186.73 m
↓
S 52.310158°
W 19.006348°		 ← 186.73 m →
34 870 m²		 S 52.310158°
W 19.003601°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58616 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87960 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447208404541016 y=0.671085357666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447208404541016 × 217)
    floor (0.447208404541016 × 131072)
    floor (58616.5)     		tx = 58616
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.671085357666016 × 217)
    floor (0.671085357666016 × 131072)
    floor (87960.5)     		ty = 87960
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58616 / 87960 ti = "17/58616/87960"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58616/87960.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58616 ÷ 217
    58616 ÷ 131072     		x = 0.44720458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87960 ÷ 217
    87960 ÷ 131072     		y = 0.67108154296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44720458984375 × 2 - 1) × π
    -0.1055908203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33172335
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.67108154296875 × 2 - 1) × π
    -0.3421630859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.07493703708014
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33172335} λ = -0.33172335}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.07493703708014))-π/2
    2×atan(0.341319245080732)-π/2
    2×0.328920574060842-π/2
    0.657841148121684-1.57079632675     		φ = -0.91295518
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33172335} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.006348°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91295518 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.308479°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58616 KachelY 87960 -0.33172335 -0.91295518 -19.006348 -52.308479
    Oben rechts KachelX + 1 58617 KachelY 87960 -0.33167541 -0.91295518 -19.003601 -52.308479
    Unten links KachelX 58616 KachelY + 1 87961 -0.33172335 -0.91298449 -19.006348 -52.310158
    Unten rechts KachelX + 1 58617 KachelY + 1 87961 -0.33167541 -0.91298449 -19.003601 -52.310158
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91295518--0.91298449) × R
    2.93100000000601e-05 × 6371000     		dl = 186.734010000383m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91295518--0.91298449) × R
    2.93100000000601e-05 × 6371000     		dr = 186.734010000383m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33172335--0.33167541) × cos(-0.91295518) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.611409947277127 × 6371000     		do = 186.740335590355m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33172335--0.33167541) × cos(-0.91298449) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.611386753600615 × 6371000     		du = 186.733251644543m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91295518)-sin(-0.91298449))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.611409947277127-0.611386753600615)×R²
    abs(-0.33167541--0.33172335)×2.31936765120455e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.31936765120455e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.31936765120455e-05×40589641000000     		ar = 34870.1102891365m²