Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58613 / 88194
↖ ↑ ↗
← S 52.699690°
W 19.014588°		 ← 185.09 m → S 52.699690°
W 19.011841°		 →
↑
185.01 m
↓
↑
185.01 m
↓
S 52.701354°
W 19.014588°		 ← 185.08 m →
34 243 m²		 S 52.701354°
W 19.011841°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58613 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88194 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447185516357422 y=0.672870635986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447185516357422 × 217)
    floor (0.447185516357422 × 131072)
    floor (58613.5)     		tx = 58613
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.672870635986328 × 217)
    floor (0.672870635986328 × 131072)
    floor (88194.5)     		ty = 88194
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58613 / 88194 ti = "17/58613/88194"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58613/88194.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58613 ÷ 217
    58613 ÷ 131072     		x = 0.447181701660156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88194 ÷ 217
    88194 ÷ 131072     		y = 0.672866821289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447181701660156 × 2 - 1) × π
    -0.105636596679688 × 3.1415926535     		Λ = -0.33186716
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.672866821289062 × 2 - 1) × π
    -0.345733642578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.08615427159123
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33186716} λ = -0.33186716}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.08615427159123))-π/2
    2×atan(0.337511980476568)-π/2
    2×0.325506610569864-π/2
    0.651013221139727-1.57079632675     		φ = -0.91978311
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33186716} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.014588°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91978311 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.699690°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58613 KachelY 88194 -0.33186716 -0.91978311 -19.014588 -52.699690
    Oben rechts KachelX + 1 58614 KachelY 88194 -0.33181922 -0.91978311 -19.011841 -52.699690
    Unten links KachelX 58613 KachelY + 1 88195 -0.33186716 -0.91981215 -19.014588 -52.701354
    Unten rechts KachelX + 1 58614 KachelY + 1 88195 -0.33181922 -0.91981215 -19.011841 -52.701354
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91978311--0.91981215) × R
    2.90400000000357e-05 × 6371000     		dl = 185.013840000227m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91978311--0.91981215) × R
    2.90400000000357e-05 × 6371000     		dr = 185.013840000227m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33186716--0.33181922) × cos(-0.91978311) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.605992700428204 × 6371000     		do = 185.085768962761m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33186716--0.33181922) × cos(-0.91981215) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.605969599717931 × 6371000     		du = 185.078713411232m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91978311)-sin(-0.91981215))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.605992700428204-0.605969599717931)×R²
    abs(-0.33181922--0.33186716)×2.31007102731162e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.31007102731162e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.31007102731162e-05×40589641000000     		ar = 34242.7761601964m²