Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58613 / 88006
↖ ↑ ↗
← S 52.385658°
W 19.014588°		 ← 186.41 m → S 52.385658°
W 19.011841°		 →
↑
186.42 m
↓
↑
186.42 m
↓
S 52.387335°
W 19.014588°		 ← 186.41 m →
34 750 m²		 S 52.387335°
W 19.011841°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58613 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88006 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447185516357422 y=0.671436309814453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447185516357422 × 217)
    floor (0.447185516357422 × 131072)
    floor (58613.5)     		tx = 58613
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.671436309814453 × 217)
    floor (0.671436309814453 × 131072)
    floor (88006.5)     		ty = 88006
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58613 / 88006 ti = "17/58613/88006"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58613/88006.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58613 ÷ 217
    58613 ÷ 131072     		x = 0.447181701660156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88006 ÷ 217
    88006 ÷ 131072     		y = 0.671432495117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447181701660156 × 2 - 1) × π
    -0.105636596679688 × 3.1415926535     		Λ = -0.33186716
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.671432495117188 × 2 - 1) × π
    -0.342864990234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.07714213446266
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33186716} λ = -0.33186716}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.07714213446266))-π/2
    2×atan(0.340567432121832)-π/2
    2×0.328247052819184-π/2
    0.656494105638368-1.57079632675     		φ = -0.91430222
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33186716} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.014588°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91430222 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.385658°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58613 KachelY 88006 -0.33186716 -0.91430222 -19.014588 -52.385658
    Oben rechts KachelX + 1 58614 KachelY 88006 -0.33181922 -0.91430222 -19.011841 -52.385658
    Unten links KachelX 58613 KachelY + 1 88007 -0.33186716 -0.91433148 -19.014588 -52.387335
    Unten rechts KachelX + 1 58614 KachelY + 1 88007 -0.33181922 -0.91433148 -19.011841 -52.387335
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91430222--0.91433148) × R
    2.92599999999199e-05 × 6371000     		dl = 186.41545999949m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91430222--0.91433148) × R
    2.92599999999199e-05 × 6371000     		dr = 186.41545999949m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33186716--0.33181922) × cos(-0.91430222) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.610343461256868 × 6371000     		do = 186.414603308418m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33186716--0.33181922) × cos(-0.91433148) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.610320283070072 × 6371000     		du = 186.407524093564m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91430222)-sin(-0.91433148))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.610343461256868-0.610320283070072)×R²
    abs(-0.33181922--0.33186716)×2.31781867956471e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.31781867956471e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.31781867956471e-05×40589641000000     		ar = 34749.904191365m²