Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58612 / 88567
↖ ↑ ↗
← S 53.316108°
W 19.017334°		 ← 182.42 m → S 53.316108°
W 19.014588°		 →
↑
182.47 m
↓
↑
182.47 m
↓
S 53.317749°
W 19.017334°		 ← 182.42 m →
33 285 m²		 S 53.317749°
W 19.014588°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58612 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88567 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447177886962891 y=0.675716400146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447177886962891 × 217)
    floor (0.447177886962891 × 131072)
    floor (58612.5)     		tx = 58612
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.675716400146484 × 217)
    floor (0.675716400146484 × 131072)
    floor (88567.5)     		ty = 88567
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58612 / 88567 ti = "17/58612/88567"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58612/88567.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58612 ÷ 217
    58612 ÷ 131072     		x = 0.447174072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88567 ÷ 217
    88567 ÷ 131072     		y = 0.675712585449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447174072265625 × 2 - 1) × π
    -0.10565185546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33191509
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.675712585449219 × 2 - 1) × π
    -0.351425170898438 × 3.1415926535     		Φ = -1.10403473514951
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33191509} λ = -0.33191509}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.10403473514951))-π/2
    2×atan(0.331530742814956)-π/2
    2×0.320127346561229-π/2
    0.640254693122458-1.57079632675     		φ = -0.93054163
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33191509} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.017334°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93054163 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.316108°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58612 KachelY 88567 -0.33191509 -0.93054163 -19.017334 -53.316108
    Oben rechts KachelX + 1 58613 KachelY 88567 -0.33186716 -0.93054163 -19.014588 -53.316108
    Unten links KachelX 58612 KachelY + 1 88568 -0.33191509 -0.93057027 -19.017334 -53.317749
    Unten rechts KachelX + 1 58613 KachelY + 1 88568 -0.33186716 -0.93057027 -19.014588 -53.317749
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93054163--0.93057027) × R
    2.86400000000242e-05 × 6371000     		dl = 182.465440000154m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93054163--0.93057027) × R
    2.86400000000242e-05 × 6371000     		dr = 182.465440000154m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33191509--0.33186716) × cos(-0.93054163) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.597399713208746 × 6371000     		do = 182.423189146952m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33191509--0.33186716) × cos(-0.93057027) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.597376745298232 × 6371000     		du = 182.416175619173m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93054163)-sin(-0.93057027))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.597399713208746-0.597376745298232)×R²
    abs(-0.33186716--0.33191509)×2.29679105141489e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.29679105141489e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.29679105141489e-05×40589641000000     		ar = 33285.2876131539m²