Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58611 / 88208
↖ ↑ ↗
← S 52.722986°
W 19.020081°		 ← 184.99 m → S 52.722986°
W 19.017334°		 →
↑
184.95 m
↓
↑
184.95 m
↓
S 52.724649°
W 19.020081°		 ← 184.98 m →
34 213 m²		 S 52.724649°
W 19.017334°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58611 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88208 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447170257568359 y=0.672977447509766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447170257568359 × 217)
    floor (0.447170257568359 × 131072)
    floor (58611.5)     		tx = 58611
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.672977447509766 × 217)
    floor (0.672977447509766 × 131072)
    floor (88208.5)     		ty = 88208
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58611 / 88208 ti = "17/58611/88208"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58611/88208.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58611 ÷ 217
    58611 ÷ 131072     		x = 0.447166442871094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88208 ÷ 217
    88208 ÷ 131072     		y = 0.6729736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447166442871094 × 2 - 1) × π
    -0.105667114257812 × 3.1415926535     		Λ = -0.33196303
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6729736328125 × 2 - 1) × π
    -0.345947265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.08682538818591
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33196303} λ = -0.33196303}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.08682538818591))-π/2
    2×atan(0.337285546575839)-π/2
    2×0.325303318964321-π/2
    0.650606637928643-1.57079632675     		φ = -0.92018969
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33196303} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.020081°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92018969 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.722986°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58611 KachelY 88208 -0.33196303 -0.92018969 -19.020081 -52.722986
    Oben rechts KachelX + 1 58612 KachelY 88208 -0.33191509 -0.92018969 -19.017334 -52.722986
    Unten links KachelX 58611 KachelY + 1 88209 -0.33196303 -0.92021872 -19.020081 -52.724649
    Unten rechts KachelX + 1 58612 KachelY + 1 88209 -0.33191509 -0.92021872 -19.017334 -52.724649
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92018969--0.92021872) × R
    2.90300000000965e-05 × 6371000     		dl = 184.950130000615m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92018969--0.92021872) × R
    2.90300000000965e-05 × 6371000     		dr = 184.950130000615m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33196303--0.33191509) × cos(-0.92018969) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.605669228073663 × 6371000     		do = 184.986972179506m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33196303--0.33191509) × cos(-0.92021872) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.605646128167771 × 6371000     		du = 184.979916873655m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92018969)-sin(-0.92021872))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.605669228073663-0.605646128167771)×R²
    abs(-0.33191509--0.33196303)×2.3099905892332e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3099905892332e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3099905892332e-05×40589641000000     		ar = 34212.7121155178m²