Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58611 / 87219
↖ ↑ ↗
← S 51.046575°
W 19.020081°		 ← 192.02 m → S 51.046575°
W 19.017334°		 →
↑
191.96 m
↓
↑
191.96 m
↓
S 51.048301°
W 19.020081°		 ← 192.01 m →
36 859 m²		 S 51.048301°
W 19.017334°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58611 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87219 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447170257568359 y=0.665431976318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447170257568359 × 217)
    floor (0.447170257568359 × 131072)
    floor (58611.5)     		tx = 58611
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.665431976318359 × 217)
    floor (0.665431976318359 × 131072)
    floor (87219.5)     		ty = 87219
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58611 / 87219 ti = "17/58611/87219"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58611/87219.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58611 ÷ 217
    58611 ÷ 131072     		x = 0.447166442871094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87219 ÷ 217
    87219 ÷ 131072     		y = 0.665428161621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447166442871094 × 2 - 1) × π
    -0.105667114257812 × 3.1415926535     		Λ = -0.33196303
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.665428161621094 × 2 - 1) × π
    -0.330856323242188 × 3.1415926535     		Φ = -1.03941579446168
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33196303} λ = -0.33196303}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03941579446168))-π/2
    2×atan(0.353661232469628)-π/2
    2×0.339932765650773-π/2
    0.679865531301546-1.57079632675     		φ = -0.89093080
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33196303} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.020081°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89093080 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.046575°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58611 KachelY 87219 -0.33196303 -0.89093080 -19.020081 -51.046575
    Oben rechts KachelX + 1 58612 KachelY 87219 -0.33191509 -0.89093080 -19.017334 -51.046575
    Unten links KachelX 58611 KachelY + 1 87220 -0.33196303 -0.89096093 -19.020081 -51.048301
    Unten rechts KachelX + 1 58612 KachelY + 1 87220 -0.33191509 -0.89096093 -19.017334 -51.048301
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89093080--0.89096093) × R
    3.01299999999616e-05 × 6371000     		dl = 191.958229999755m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89093080--0.89096093) × R
    3.01299999999616e-05 × 6371000     		dr = 191.958229999755m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33196303--0.33191509) × cos(-0.89093080) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.628688455637847 × 6371000     		do = 192.017636792521m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33196303--0.33191509) × cos(-0.89096093) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.628665024539012 × 6371000     		du = 192.01048033182m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89093080)-sin(-0.89096093))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.628688455637847-0.628665024539012)×R²
    abs(-0.33191509--0.33196303)×2.34310988341813e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34310988341813e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34310988341813e-05×40589641000000     		ar = 36858.6788194437m²