Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58609 / 87953
↖ ↑ ↗
← S 52.296722°
W 19.025574°		 ← 186.75 m → S 52.296722°
W 19.022827°		 →
↑
186.73 m
↓
↑
186.73 m
↓
S 52.298402°
W 19.025574°		 ← 186.74 m →
34 872 m²		 S 52.298402°
W 19.022827°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58609 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87953 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447154998779297 y=0.671031951904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447154998779297 × 217)
    floor (0.447154998779297 × 131072)
    floor (58609.5)     		tx = 58609
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.671031951904297 × 217)
    floor (0.671031951904297 × 131072)
    floor (87953.5)     		ty = 87953
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58609 / 87953 ti = "17/58609/87953"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58609/87953.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58609 ÷ 217
    58609 ÷ 131072     		x = 0.447151184082031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87953 ÷ 217
    87953 ÷ 131072     		y = 0.671028137207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447151184082031 × 2 - 1) × π
    -0.105697631835938 × 3.1415926535     		Λ = -0.33205890
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.671028137207031 × 2 - 1) × π
    -0.342056274414062 × 3.1415926535     		Φ = -1.0746014787828
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33205890} λ = -0.33205890}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0746014787828))-π/2
    2×atan(0.341433796803776)-π/2
    2×0.329023169521326-π/2
    0.658046339042653-1.57079632675     		φ = -0.91274999
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33205890} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.025574°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91274999 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.296722°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58609 KachelY 87953 -0.33205890 -0.91274999 -19.025574 -52.296722
    Oben rechts KachelX + 1 58610 KachelY 87953 -0.33201097 -0.91274999 -19.022827 -52.296722
    Unten links KachelX 58609 KachelY + 1 87954 -0.33205890 -0.91277930 -19.025574 -52.298402
    Unten rechts KachelX + 1 58610 KachelY + 1 87954 -0.33201097 -0.91277930 -19.022827 -52.298402
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91274999--0.91277930) × R
    2.93099999999491e-05 × 6371000     		dl = 186.734009999676m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91274999--0.91277930) × R
    2.93099999999491e-05 × 6371000     		dr = 186.734009999676m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33205890--0.33201097) × cos(-0.91274999) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.611572304128431 × 6371000     		do = 186.750960280333m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33205890--0.33201097) × cos(-0.91277930) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.61154911412943 × 6371000     		du = 186.743878935162m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91274999)-sin(-0.91277930))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.611572304128431-0.61154911412943)×R²
    abs(-0.33201097--0.33205890)×2.31899990013051e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.31899990013051e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.31899990013051e-05×40589641000000     		ar = 34872.0945228751m²