Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58607 / 88209
↖ ↑ ↗
← S 52.724649°
W 19.031067°		 ← 184.98 m → S 52.724649°
W 19.028320°		 →
↑
184.95 m
↓
↑
184.95 m
↓
S 52.726312°
W 19.031067°		 ← 184.97 m →
34 211 m²		 S 52.726312°
W 19.028320°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58607 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88209 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447139739990234 y=0.672985076904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447139739990234 × 217)
    floor (0.447139739990234 × 131072)
    floor (58607.5)     		tx = 58607
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.672985076904297 × 217)
    floor (0.672985076904297 × 131072)
    floor (88209.5)     		ty = 88209
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58607 / 88209 ti = "17/58607/88209"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58607/88209.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58607 ÷ 217
    58607 ÷ 131072     		x = 0.447135925292969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88209 ÷ 217
    88209 ÷ 131072     		y = 0.672981262207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447135925292969 × 2 - 1) × π
    -0.105728149414062 × 3.1415926535     		Λ = -0.33215478
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.672981262207031 × 2 - 1) × π
    -0.345962524414062 × 3.1415926535     		Φ = -1.08687332508553
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33215478} λ = -0.33215478}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.08687332508553))-π/2
    2×atan(0.337269378539976)-π/2
    2×0.325288802288672-π/2
    0.650577604577345-1.57079632675     		φ = -0.92021872
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33215478} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.031067°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92021872 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.724649°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58607 KachelY 88209 -0.33215478 -0.92021872 -19.031067 -52.724649
    Oben rechts KachelX + 1 58608 KachelY 88209 -0.33210684 -0.92021872 -19.028320 -52.724649
    Unten links KachelX 58607 KachelY + 1 88210 -0.33215478 -0.92024775 -19.031067 -52.726312
    Unten rechts KachelX + 1 58608 KachelY + 1 88210 -0.33210684 -0.92024775 -19.028320 -52.726312
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92021872--0.92024775) × R
    2.90299999999855e-05 × 6371000     		dl = 184.950129999907m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92021872--0.92024775) × R
    2.90299999999855e-05 × 6371000     		dr = 184.950129999907m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33215478--0.33210684) × cos(-0.92021872) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.605646128167771 × 6371000     		do = 184.979916873655m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33215478--0.33210684) × cos(-0.92024775) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.605623027751476 × 6371000     		du = 184.972861411914m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92021872)-sin(-0.92024775))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.605646128167771-0.605623027751476)×R²
    abs(-0.33210684--0.33215478)×2.31004162950521e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.31004162950521e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.31004162950521e-05×40589641000000     		ar = 34211.4072211282m²