Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58607 / 87952
↖ ↑ ↗
← S 52.295042°
W 19.031067°		 ← 186.80 m → S 52.295042°
W 19.028320°		 →
↑
186.80 m
↓
↑
186.80 m
↓
S 52.296722°
W 19.031067°		 ← 186.79 m →
34 893 m²		 S 52.296722°
W 19.028320°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58607 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87952 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447139739990234 y=0.671024322509766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447139739990234 × 217)
    floor (0.447139739990234 × 131072)
    floor (58607.5)     		tx = 58607
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.671024322509766 × 217)
    floor (0.671024322509766 × 131072)
    floor (87952.5)     		ty = 87952
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58607 / 87952 ti = "17/58607/87952"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58607/87952.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58607 ÷ 217
    58607 ÷ 131072     		x = 0.447135925292969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87952 ÷ 217
    87952 ÷ 131072     		y = 0.6710205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447135925292969 × 2 - 1) × π
    -0.105728149414062 × 3.1415926535     		Λ = -0.33215478
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6710205078125 × 2 - 1) × π
    -0.342041015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.07455354188318
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33215478} λ = -0.33215478}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.07455354188318))-π/2
    2×atan(0.341450164473725)-π/2
    2×0.329037828239423-π/2
    0.658075656478847-1.57079632675     		φ = -0.91272067
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33215478} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.031067°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91272067 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.295042°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58607 KachelY 87952 -0.33215478 -0.91272067 -19.031067 -52.295042
    Oben rechts KachelX + 1 58608 KachelY 87952 -0.33210684 -0.91272067 -19.028320 -52.295042
    Unten links KachelX 58607 KachelY + 1 87953 -0.33215478 -0.91274999 -19.031067 -52.296722
    Unten rechts KachelX + 1 58608 KachelY + 1 87953 -0.33210684 -0.91274999 -19.028320 -52.296722
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91272067--0.91274999) × R
    2.93199999999993e-05 × 6371000     		dl = 186.797719999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91272067--0.91274999) × R
    2.93199999999993e-05 × 6371000     		dr = 186.797719999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33215478--0.33210684) × cos(-0.91272067) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.611595501513751 × 6371000     		do = 186.797008630386m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33215478--0.33210684) × cos(-0.91274999) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.611572304128431 × 6371000     		du = 186.789923551809m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91272067)-sin(-0.91274999))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.611595501513751-0.611572304128431)×R²
    abs(-0.33210684--0.33215478)×2.3197385320417e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3197385320417e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3197385320417e-05×40589641000000     		ar = 34892.5935793209m²