Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58607 / 87659
↖ ↑ ↗
← S 51.800123°
W 19.031067°		 ← 188.88 m → S 51.800123°
W 19.028320°		 →
↑
188.84 m
↓
↑
188.84 m
↓
S 51.801821°
W 19.031067°		 ← 188.87 m →
35 666 m²		 S 51.801821°
W 19.028320°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58607 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87659 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447139739990234 y=0.668788909912109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447139739990234 × 217)
    floor (0.447139739990234 × 131072)
    floor (58607.5)     		tx = 58607
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.668788909912109 × 217)
    floor (0.668788909912109 × 131072)
    floor (87659.5)     		ty = 87659
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58607 / 87659 ti = "17/58607/87659"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58607/87659.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58607 ÷ 217
    58607 ÷ 131072     		x = 0.447135925292969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87659 ÷ 217
    87659 ÷ 131072     		y = 0.668785095214844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447135925292969 × 2 - 1) × π
    -0.105728149414062 × 3.1415926535     		Λ = -0.33215478
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.668785095214844 × 2 - 1) × π
    -0.337570190429688 × 3.1415926535     		Φ = -1.0605080302945
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33215478} λ = -0.33215478}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0605080302945))-π/2
    2×atan(0.346279844984351)-π/2
    2×0.333356813518247-π/2
    0.666713627036495-1.57079632675     		φ = -0.90408270
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33215478} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.031067°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90408270 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.800123°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58607 KachelY 87659 -0.33215478 -0.90408270 -19.031067 -51.800123
    Oben rechts KachelX + 1 58608 KachelY 87659 -0.33210684 -0.90408270 -19.028320 -51.800123
    Unten links KachelX 58607 KachelY + 1 87660 -0.33215478 -0.90411234 -19.031067 -51.801821
    Unten rechts KachelX + 1 58608 KachelY + 1 87660 -0.33210684 -0.90411234 -19.028320 -51.801821
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90408270--0.90411234) × R
    2.96399999999419e-05 × 6371000     		dl = 188.83643999963m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90408270--0.90411234) × R
    2.96399999999419e-05 × 6371000     		dr = 188.83643999963m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33215478--0.33210684) × cos(-0.90408270) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.618406707754433 × 6371000     		do = 188.877326336737m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33215478--0.33210684) × cos(-0.90411234) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.618383414645116 × 6371000     		du = 188.870212021588m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90408270)-sin(-0.90411234))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.618406707754433-0.618383414645116)×R²
    abs(-0.33210684--0.33215478)×2.32931093167021e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.32931093167021e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.32931093167021e-05×40589641000000     		ar = 35666.2501835838m²