Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58605 / 88303
↖ ↑ ↗
← S 52.880733°
W 19.036560°		 ← 184.32 m → S 52.880733°
W 19.033813°		 →
↑
184.31 m
↓
↑
184.31 m
↓
S 52.882391°
W 19.036560°		 ← 184.31 m →
33 971 m²		 S 52.882391°
W 19.033813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58605 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88303 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447124481201172 y=0.673702239990234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447124481201172 × 217)
    floor (0.447124481201172 × 131072)
    floor (58605.5)     		tx = 58605
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.673702239990234 × 217)
    floor (0.673702239990234 × 131072)
    floor (88303.5)     		ty = 88303
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58605 / 88303 ti = "17/58605/88303"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58605/88303.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58605 ÷ 217
    58605 ÷ 131072     		x = 0.447120666503906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88303 ÷ 217
    88303 ÷ 131072     		y = 0.673698425292969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447120666503906 × 2 - 1) × π
    -0.105758666992188 × 3.1415926535     		Λ = -0.33225065
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.673698425292969 × 2 - 1) × π
    -0.347396850585938 × 3.1415926535     		Φ = -1.09137939364982
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33225065} λ = -0.33225065}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.09137939364982))-π/2
    2×atan(0.335753038527401)-π/2
    2×0.323926705940092-π/2
    0.647853411880184-1.57079632675     		φ = -0.92294291
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33225065} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.036560°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92294291 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.880733°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58605 KachelY 88303 -0.33225065 -0.92294291 -19.036560 -52.880733
    Oben rechts KachelX + 1 58606 KachelY 88303 -0.33220271 -0.92294291 -19.033813 -52.880733
    Unten links KachelX 58605 KachelY + 1 88304 -0.33225065 -0.92297184 -19.036560 -52.882391
    Unten rechts KachelX + 1 58606 KachelY + 1 88304 -0.33220271 -0.92297184 -19.033813 -52.882391
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92294291--0.92297184) × R
    2.89300000000381e-05 × 6371000     		dl = 184.313030000243m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92294291--0.92297184) × R
    2.89300000000381e-05 × 6371000     		dr = 184.313030000243m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33225065--0.33220271) × cos(-0.92294291) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.60347615264226 × 6371000     		do = 184.317150492994m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33225065--0.33220271) × cos(-0.92297184) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.603453084156052 × 6371000     		du = 184.310104783524m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92294291)-sin(-0.92297184))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.60347615264226-0.603453084156052)×R²
    abs(-0.33220271--0.33225065)×2.30684862079222e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.30684862079222e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.30684862079222e-05×40589641000000     		ar = 33971.4031827106m²