Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58604 / 88304
↖ ↑ ↗
← S 52.882391°
W 19.039307°		 ← 184.31 m → S 52.882391°
W 19.036560°		 →
↑
184.31 m
↓
↑
184.31 m
↓
S 52.884049°
W 19.039307°		 ← 184.30 m →
33 970 m²		 S 52.884049°
W 19.036560°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58604 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88304 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447116851806641 y=0.673709869384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447116851806641 × 217)
    floor (0.447116851806641 × 131072)
    floor (58604.5)     		tx = 58604
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.673709869384766 × 217)
    floor (0.673709869384766 × 131072)
    floor (88304.5)     		ty = 88304
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58604 / 88304 ti = "17/58604/88304"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58604/88304.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58604 ÷ 217
    58604 ÷ 131072     		x = 0.447113037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88304 ÷ 217
    88304 ÷ 131072     		y = 0.6737060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447113037109375 × 2 - 1) × π
    -0.10577392578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33229859
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6737060546875 × 2 - 1) × π
    -0.347412109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.09142733054944
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33229859} λ = -0.33229859}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.09142733054944))-π/2
    2×atan(0.335736943953462)-π/2
    2×0.323912241828752-π/2
    0.647824483657503-1.57079632675     		φ = -0.92297184
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33229859} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.039307°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92297184 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.882391°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58604 KachelY 88304 -0.33229859 -0.92297184 -19.039307 -52.882391
    Oben rechts KachelX + 1 58605 KachelY 88304 -0.33225065 -0.92297184 -19.036560 -52.882391
    Unten links KachelX 58604 KachelY + 1 88305 -0.33229859 -0.92300077 -19.039307 -52.884049
    Unten rechts KachelX + 1 58605 KachelY + 1 88305 -0.33225065 -0.92300077 -19.036560 -52.884049
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92297184--0.92300077) × R
    2.89300000000381e-05 × 6371000     		dl = 184.313030000243m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92297184--0.92300077) × R
    2.89300000000381e-05 × 6371000     		dr = 184.313030000243m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33229859--0.33225065) × cos(-0.92297184) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.603453084156052 × 6371000     		do = 184.310104783737m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33229859--0.33225065) × cos(-0.92300077) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.603430015164787 × 6371000     		du = 184.303058920009m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92297184)-sin(-0.92300077))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.603453084156052-0.603430015164787)×R²
    abs(-0.33225065--0.33229859)×2.30689912649185e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.30689912649185e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.30689912649185e-05×40589641000000     		ar = 33970.1045525019m²