Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58602 / 88306
↖ ↑ ↗
← S 52.885706°
W 19.044800°		 ← 184.26 m → S 52.885706°
W 19.042054°		 →
↑
184.25 m
↓
↑
184.25 m
↓
S 52.887363°
W 19.044800°		 ← 184.25 m →
33 949 m²		 S 52.887363°
W 19.042054°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58602 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88306 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447101593017578 y=0.673725128173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447101593017578 × 217)
    floor (0.447101593017578 × 131072)
    floor (58602.5)     		tx = 58602
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.673725128173828 × 217)
    floor (0.673725128173828 × 131072)
    floor (88306.5)     		ty = 88306
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58602 / 88306 ti = "17/58602/88306"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58602/88306.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58602 ÷ 217
    58602 ÷ 131072     		x = 0.447097778320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88306 ÷ 217
    88306 ÷ 131072     		y = 0.673721313476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447097778320312 × 2 - 1) × π
    -0.105804443359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.33239446
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.673721313476562 × 2 - 1) × π
    -0.347442626953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.09152320434868
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33239446} λ = -0.33239446}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.09152320434868))-π/2
    2×atan(0.335704757120061)-π/2
    2×0.323883315264693-π/2
    0.647766630529387-1.57079632675     		φ = -0.92302970
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33239446} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.044800°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92302970 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.885706°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58602 KachelY 88306 -0.33239446 -0.92302970 -19.044800 -52.885706
    Oben rechts KachelX + 1 58603 KachelY 88306 -0.33234653 -0.92302970 -19.042054 -52.885706
    Unten links KachelX 58602 KachelY + 1 88307 -0.33239446 -0.92305862 -19.044800 -52.887363
    Unten rechts KachelX + 1 58603 KachelY + 1 88307 -0.33234653 -0.92305862 -19.042054 -52.887363
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92302970--0.92305862) × R
    2.89200000000989e-05 × 6371000     		dl = 184.24932000063m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92302970--0.92305862) × R
    2.89200000000989e-05 × 6371000     		dr = 184.24932000063m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33239446--0.33234653) × cos(-0.92302970) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.603406945668485 × 6371000     		do = 184.257569845541m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33239446--0.33234653) × cos(-0.92305862) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.603383883641672 × 6371000     		du = 184.250527578218m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92302970)-sin(-0.92305862))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.603406945668485-0.603383883641672)×R²
    abs(-0.33234653--0.33239446)×2.30620268122372e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.30620268122372e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.30620268122372e-05×40589641000000     		ar = 33948.6831849313m²