Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58602 / 87714
↖ ↑ ↗
← S 51.893444°
W 19.044800°		 ← 188.45 m → S 51.893444°
W 19.042054°		 →
↑
188.45 m
↓
↑
188.45 m
↓
S 51.895139°
W 19.044800°		 ← 188.44 m →
35 513 m²		 S 51.895139°
W 19.042054°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58602 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87714 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447101593017578 y=0.669208526611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447101593017578 × 217)
    floor (0.447101593017578 × 131072)
    floor (58602.5)     		tx = 58602
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.669208526611328 × 217)
    floor (0.669208526611328 × 131072)
    floor (87714.5)     		ty = 87714
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58602 / 87714 ti = "17/58602/87714"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58602/87714.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58602 ÷ 217
    58602 ÷ 131072     		x = 0.447097778320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87714 ÷ 217
    87714 ÷ 131072     		y = 0.669204711914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447097778320312 × 2 - 1) × π
    -0.105804443359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.33239446
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.669204711914062 × 2 - 1) × π
    -0.338409423828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.06314455977361
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33239446} λ = -0.33239446}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.06314455977361))-π/2
    2×atan(0.345368070453413)-π/2
    2×0.33254243408443-π/2
    0.665084868168861-1.57079632675     		φ = -0.90571146
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33239446} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.044800°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90571146 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.893444°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58602 KachelY 87714 -0.33239446 -0.90571146 -19.044800 -51.893444
    Oben rechts KachelX + 1 58603 KachelY 87714 -0.33234653 -0.90571146 -19.042054 -51.893444
    Unten links KachelX 58602 KachelY + 1 87715 -0.33239446 -0.90574104 -19.044800 -51.895139
    Unten rechts KachelX + 1 58603 KachelY + 1 87715 -0.33234653 -0.90574104 -19.042054 -51.895139
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90571146--0.90574104) × R
    2.95799999999735e-05 × 6371000     		dl = 188.454179999831m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90571146--0.90574104) × R
    2.95799999999735e-05 × 6371000     		dr = 188.454179999831m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33239446--0.33234653) × cos(-0.90571146) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.617125913611266 × 6371000     		do = 188.446821746056m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33239446--0.33234653) × cos(-0.90574104) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.617102637891904 × 6371000     		du = 188.439714225142m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90571146)-sin(-0.90574104))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.617125913611266-0.617102637891904)×R²
    abs(-0.33234653--0.33239446)×2.32757193617816e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.32757193617816e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.32757193617816e-05×40589641000000     		ar = 35512.9215472427m²