Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58601 / 89640
↖ ↑ ↗
← S 55.040614°
W 19.047546°		 ← 175.01 m → S 55.040614°
W 19.044800°		 →
↑
175.01 m
↓
↑
175.01 m
↓
S 55.042188°
W 19.047546°		 ← 175 m →
30 628 m²		 S 55.042188°
W 19.044800°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58601 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89640 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447093963623047 y=0.683902740478516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447093963623047 × 217)
    floor (0.447093963623047 × 131072)
    floor (58601.5)     		tx = 58601
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.683902740478516 × 217)
    floor (0.683902740478516 × 131072)
    floor (89640.5)     		ty = 89640
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58601 / 89640 ti = "17/58601/89640"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58601/89640.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58601 ÷ 217
    58601 ÷ 131072     		x = 0.447090148925781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89640 ÷ 217
    89640 ÷ 131072     		y = 0.68389892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447090148925781 × 2 - 1) × π
    -0.105819702148438 × 3.1415926535     		Λ = -0.33244240
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68389892578125 × 2 - 1) × π
    -0.3677978515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.15547102844183
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33244240} λ = -0.33244240}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.15547102844183))-π/2
    2×atan(0.314909170787791)-π/2
    2×0.305078192237399-π/2
    0.610156384474798-1.57079632675     		φ = -0.96063994
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33244240} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.047546°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96063994 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.040614°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58601 KachelY 89640 -0.33244240 -0.96063994 -19.047546 -55.040614
    Oben rechts KachelX + 1 58602 KachelY 89640 -0.33239446 -0.96063994 -19.044800 -55.040614
    Unten links KachelX 58601 KachelY + 1 89641 -0.33244240 -0.96066741 -19.047546 -55.042188
    Unten rechts KachelX + 1 58602 KachelY + 1 89641 -0.33239446 -0.96066741 -19.044800 -55.042188
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96063994--0.96066741) × R
    2.74700000000294e-05 × 6371000     		dl = 175.011370000187m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96063994--0.96066741) × R
    2.74700000000294e-05 × 6371000     		dr = 175.011370000187m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33244240--0.33239446) × cos(-0.96063994) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.572995635221152 × 6371000     		do = 175.007615904278m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33244240--0.33239446) × cos(-0.96066741) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.572973121735196 × 6371000     		du = 175.00073970617m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96063994)-sin(-0.96066741))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.572995635221152-0.572973121735196)×R²
    abs(-0.33239446--0.33244240)×2.2513485956388e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.2513485956388e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.2513485956388e-05×40589641000000     		ar = 30627.7209153205m²