Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58600 / 87642
↖ ↑ ↗
← S 51.771239°
W 19.050293°		 ← 189 m → S 51.771239°
W 19.047546°		 →
↑
188.96 m
↓
↑
188.96 m
↓
S 51.772938°
W 19.050293°		 ← 188.99 m →
35 713 m²		 S 51.772938°
W 19.047546°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58600 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87642 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447086334228516 y=0.668659210205078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447086334228516 × 217)
    floor (0.447086334228516 × 131072)
    floor (58600.5)     		tx = 58600
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.668659210205078 × 217)
    floor (0.668659210205078 × 131072)
    floor (87642.5)     		ty = 87642
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58600 / 87642 ti = "17/58600/87642"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58600/87642.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58600 ÷ 217
    58600 ÷ 131072     		x = 0.44708251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87642 ÷ 217
    87642 ÷ 131072     		y = 0.668655395507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44708251953125 × 2 - 1) × π
    -0.1058349609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.33249034
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.668655395507812 × 2 - 1) × π
    -0.337310791015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.05969310300096
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33249034} λ = -0.33249034}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05969310300096))-π/2
    2×atan(0.34656215289582)-π/2
    2×0.333608872462824-π/2
    0.667217744925648-1.57079632675     		φ = -0.90357858
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33249034} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.050293°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90357858 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.771239°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58600 KachelY 87642 -0.33249034 -0.90357858 -19.050293 -51.771239
    Oben rechts KachelX + 1 58601 KachelY 87642 -0.33244240 -0.90357858 -19.047546 -51.771239
    Unten links KachelX 58600 KachelY + 1 87643 -0.33249034 -0.90360824 -19.050293 -51.772938
    Unten rechts KachelX + 1 58601 KachelY + 1 87643 -0.33244240 -0.90360824 -19.047546 -51.772938
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90357858--0.90360824) × R
    2.96599999999314e-05 × 6371000     		dl = 188.963859999563m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90357858--0.90360824) × R
    2.96599999999314e-05 × 6371000     		dr = 188.963859999563m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33249034--0.33244240) × cos(-0.90357858) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.618802796004113 × 6371000     		do = 188.998301883501m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33249034--0.33244240) × cos(-0.90360824) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.618779496426593 × 6371000     		du = 188.991185592796m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90357858)-sin(-0.90360824))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.618802796004113-0.618779496426593)×R²
    abs(-0.33244240--0.33249034)×2.32995775204525e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.32995775204525e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.32995775204525e-05×40589641000000     		ar = 35713.176298937m²