Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58598 / 89639
↖ ↑ ↗
← S 55.039040°
W 19.055786°		 ← 175.01 m → S 55.039040°
W 19.053039°		 →
↑
175.01 m
↓
↑
175.01 m
↓
S 55.040614°
W 19.055786°		 ← 175.01 m →
30 629 m²		 S 55.040614°
W 19.053039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58598 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89639 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447071075439453 y=0.683895111083984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447071075439453 × 217)
    floor (0.447071075439453 × 131072)
    floor (58598.5)     		tx = 58598
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.683895111083984 × 217)
    floor (0.683895111083984 × 131072)
    floor (89639.5)     		ty = 89639
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58598 / 89639 ti = "17/58598/89639"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58598/89639.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58598 ÷ 217
    58598 ÷ 131072     		x = 0.447067260742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89639 ÷ 217
    89639 ÷ 131072     		y = 0.683891296386719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447067260742188 × 2 - 1) × π
    -0.105865478515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33258621
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.683891296386719 × 2 - 1) × π
    -0.367782592773438 × 3.1415926535     		Φ = -1.15542309154221
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33258621} λ = -0.33258621}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.15542309154221))-π/2
    2×atan(0.314924266918929)-π/2
    2×0.30509192632426-π/2
    0.610183852648521-1.57079632675     		φ = -0.96061247
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33258621} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.055786°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96061247 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.039040°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58598 KachelY 89639 -0.33258621 -0.96061247 -19.055786 -55.039040
    Oben rechts KachelX + 1 58599 KachelY 89639 -0.33253827 -0.96061247 -19.053039 -55.039040
    Unten links KachelX 58598 KachelY + 1 89640 -0.33258621 -0.96063994 -19.055786 -55.040614
    Unten rechts KachelX + 1 58599 KachelY + 1 89640 -0.33253827 -0.96063994 -19.053039 -55.040614
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96061247--0.96063994) × R
    2.74699999999184e-05 × 6371000     		dl = 175.01136999948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96061247--0.96063994) × R
    2.74699999999184e-05 × 6371000     		dr = 175.01136999948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33258621--0.33253827) × cos(-0.96061247) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.573018148274725 × 6371000     		do = 175.014491970123m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33258621--0.33253827) × cos(-0.96063994) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.572995635221152 × 6371000     		du = 175.007615904076m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96061247)-sin(-0.96063994))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.573018148274725-0.572995635221152)×R²
    abs(-0.33253827--0.33258621)×2.25130535731477e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.25130535731477e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.25130535731477e-05×40589641000000     		ar = 30628.9243165829m²