Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58597 / 89485
↖ ↑ ↗
← S 54.795935°
W 19.058533°		 ← 176.07 m → S 54.795935°
W 19.055786°		 →
↑
176.09 m
↓
↑
176.09 m
↓
S 54.797519°
W 19.058533°		 ← 176.07 m →
31 005 m²		 S 54.797519°
W 19.055786°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58597 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89485 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447063446044922 y=0.682720184326172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447063446044922 × 217)
    floor (0.447063446044922 × 131072)
    floor (58597.5)     		tx = 58597
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.682720184326172 × 217)
    floor (0.682720184326172 × 131072)
    floor (89485.5)     		ty = 89485
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58597 / 89485 ti = "17/58597/89485"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58597/89485.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58597 ÷ 217
    58597 ÷ 131072     		x = 0.447059631347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89485 ÷ 217
    89485 ÷ 131072     		y = 0.682716369628906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447059631347656 × 2 - 1) × π
    -0.105880737304688 × 3.1415926535     		Λ = -0.33263415
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.682716369628906 × 2 - 1) × π
    -0.365432739257812 × 3.1415926535     		Φ = -1.14804080900072
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33263415} λ = -0.33263415}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14804080900072))-π/2
    2×atan(0.317257729378655)-π/2
    2×0.307213422065808-π/2
    0.614426844131616-1.57079632675     		φ = -0.95636948
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33263415} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.058533°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95636948 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.795935°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58597 KachelY 89485 -0.33263415 -0.95636948 -19.058533 -54.795935
    Oben rechts KachelX + 1 58598 KachelY 89485 -0.33258621 -0.95636948 -19.055786 -54.795935
    Unten links KachelX 58597 KachelY + 1 89486 -0.33263415 -0.95639712 -19.058533 -54.797519
    Unten rechts KachelX + 1 58598 KachelY + 1 89486 -0.33258621 -0.95639712 -19.055786 -54.797519
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95636948--0.95639712) × R
    2.76399999999954e-05 × 6371000     		dl = 176.094439999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95636948--0.95639712) × R
    2.76399999999954e-05 × 6371000     		dr = 176.094439999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33263415--0.33258621) × cos(-0.95636948) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.576490291225332 × 6371000     		do = 176.074973800401m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33263415--0.33258621) × cos(-0.95639712) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.57646770625061 × 6371000     		du = 176.068075767784m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95636948)-sin(-0.95639712))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.576490291225332-0.57646770625061)×R²
    abs(-0.33258621--0.33263415)×2.2584974722073e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.2584974722073e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.2584974722073e-05×40589641000000     		ar = 31005.2165587946m²