Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58596 / 87285
↖ ↑ ↗
← S 51.160400°
W 19.061279°		 ← 191.51 m → S 51.160400°
W 19.058533°		 →
↑
191.51 m
↓
↑
191.51 m
↓
S 51.162122°
W 19.061279°		 ← 191.50 m →
36 675 m²		 S 51.162122°
W 19.058533°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58596 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87285 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447055816650391 y=0.665935516357422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447055816650391 × 217)
    floor (0.447055816650391 × 131072)
    floor (58596.5)     		tx = 58596
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.665935516357422 × 217)
    floor (0.665935516357422 × 131072)
    floor (87285.5)     		ty = 87285
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58596 / 87285 ti = "17/58596/87285"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58596/87285.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58596 ÷ 217
    58596 ÷ 131072     		x = 0.447052001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87285 ÷ 217
    87285 ÷ 131072     		y = 0.665931701660156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447052001953125 × 2 - 1) × π
    -0.10589599609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.33268208
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.665931701660156 × 2 - 1) × π
    -0.331863403320312 × 3.1415926535     		Φ = -1.0425796298366
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33268208} λ = -0.33268208}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0425796298366))-π/2
    2×atan(0.352544074735064)-π/2
    2×0.338939455373171-π/2
    0.677878910746341-1.57079632675     		φ = -0.89291742
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33268208} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.061279°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89291742 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.160400°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58596 KachelY 87285 -0.33268208 -0.89291742 -19.061279 -51.160400
    Oben rechts KachelX + 1 58597 KachelY 87285 -0.33263415 -0.89291742 -19.058533 -51.160400
    Unten links KachelX 58596 KachelY + 1 87286 -0.33268208 -0.89294748 -19.061279 -51.162122
    Unten rechts KachelX + 1 58597 KachelY + 1 87286 -0.33263415 -0.89294748 -19.058533 -51.162122
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89291742--0.89294748) × R
    3.00600000000539e-05 × 6371000     		dl = 191.512260000344m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89291742--0.89294748) × R
    3.00600000000539e-05 × 6371000     		dr = 191.512260000344m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33268208--0.33263415) × cos(-0.89291742) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.627142306564149 × 6371000     		do = 191.505447831206m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33268208--0.33263415) × cos(-0.89294748) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.62711889240561 × 6371000     		du = 191.498298036224m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89291742)-sin(-0.89294748))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.627142306564149-0.62711889240561)×R²
    abs(-0.33263415--0.33268208)×2.34141585382375e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.34141585382375e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.34141585382375e-05×40589641000000     		ar = 36674.9564827357m²