Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58595 / 88302
↖ ↑ ↗
← S 52.879076°
W 19.064026°		 ← 184.32 m → S 52.879076°
W 19.061279°		 →
↑
184.25 m
↓
↑
184.25 m
↓
S 52.880733°
W 19.064026°		 ← 184.32 m →
33 961 m²		 S 52.880733°
W 19.061279°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58595 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88302 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447048187255859 y=0.673694610595703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447048187255859 × 217)
    floor (0.447048187255859 × 131072)
    floor (58595.5)     		tx = 58595
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.673694610595703 × 217)
    floor (0.673694610595703 × 131072)
    floor (88302.5)     		ty = 88302
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58595 / 88302 ti = "17/58595/88302"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58595/88302.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58595 ÷ 217
    58595 ÷ 131072     		x = 0.447044372558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88302 ÷ 217
    88302 ÷ 131072     		y = 0.673690795898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447044372558594 × 2 - 1) × π
    -0.105911254882812 × 3.1415926535     		Λ = -0.33273002
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.673690795898438 × 2 - 1) × π
    -0.347381591796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.0913314567502
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33273002} λ = -0.33273002}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0913314567502))-π/2
    2×atan(0.335769133872884)-π/2
    2×0.323941170604319-π/2
    0.647882341208638-1.57079632675     		φ = -0.92291399
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33273002} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.064026°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92291399 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.879076°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58595 KachelY 88302 -0.33273002 -0.92291399 -19.064026 -52.879076
    Oben rechts KachelX + 1 58596 KachelY 88302 -0.33268208 -0.92291399 -19.061279 -52.879076
    Unten links KachelX 58595 KachelY + 1 88303 -0.33273002 -0.92294291 -19.064026 -52.880733
    Unten rechts KachelX + 1 58596 KachelY + 1 88303 -0.33268208 -0.92294291 -19.061279 -52.880733
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92291399--0.92294291) × R
    2.89199999999878e-05 × 6371000     		dl = 184.249319999923m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92291399--0.92294291) × R
    2.89199999999878e-05 × 6371000     		dr = 184.249319999923m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33273002--0.33268208) × cos(-0.92291399) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.603499212649756 × 6371000     		do = 184.324193613062m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33273002--0.33268208) × cos(-0.92294291) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.60347615264226 × 6371000     		du = 184.317150493208m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92291399)-sin(-0.92294291))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.603499212649756-0.60347615264226)×R²
    abs(-0.33268208--0.33273002)×2.30600074957454e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.30600074957454e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.30600074957454e-05×40589641000000     		ar = 33960.9584902325m²