Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58595 / 87706
↖ ↑ ↗
← S 51.879882°
W 19.064026°		 ← 188.54 m → S 51.879882°
W 19.061279°		 →
↑
188.52 m
↓
↑
188.52 m
↓
S 51.881578°
W 19.064026°		 ← 188.54 m →
35 543 m²		 S 51.881578°
W 19.061279°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58595 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87706 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447048187255859 y=0.669147491455078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447048187255859 × 217)
    floor (0.447048187255859 × 131072)
    floor (58595.5)     		tx = 58595
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.669147491455078 × 217)
    floor (0.669147491455078 × 131072)
    floor (87706.5)     		ty = 87706
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58595 / 87706 ti = "17/58595/87706"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58595/87706.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58595 ÷ 217
    58595 ÷ 131072     		x = 0.447044372558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87706 ÷ 217
    87706 ÷ 131072     		y = 0.669143676757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447044372558594 × 2 - 1) × π
    -0.105911254882812 × 3.1415926535     		Λ = -0.33273002
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.669143676757812 × 2 - 1) × π
    -0.338287353515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.06276106457664
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33273002} λ = -0.33273002}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.06276106457664))-π/2
    2×atan(0.345500542849255)-π/2
    2×0.332660784351142-π/2
    0.665321568702285-1.57079632675     		φ = -0.90547476
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33273002} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.064026°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90547476 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.879882°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58595 KachelY 87706 -0.33273002 -0.90547476 -19.064026 -51.879882
    Oben rechts KachelX + 1 58596 KachelY 87706 -0.33268208 -0.90547476 -19.061279 -51.879882
    Unten links KachelX 58595 KachelY + 1 87707 -0.33273002 -0.90550435 -19.064026 -51.881578
    Unten rechts KachelX + 1 58596 KachelY + 1 87707 -0.33268208 -0.90550435 -19.061279 -51.881578
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90547476--0.90550435) × R
    2.95899999999127e-05 × 6371000     		dl = 188.517889999444m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90547476--0.90550435) × R
    2.95899999999127e-05 × 6371000     		dr = 188.517889999444m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33273002--0.33268208) × cos(-0.90547476) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.617312147128607 × 6371000     		do = 188.543019347838m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33273002--0.33268208) × cos(-0.90550435) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.61728886786331 × 6371000     		du = 188.535909261008m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90547476)-sin(-0.90550435))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.617312147128607-0.61728886786331)×R²
    abs(-0.33268208--0.33273002)×2.32792652968827e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.32792652968827e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.32792652968827e-05×40589641000000     		ar = 35543.0619950084m²