Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58594 / 88308
↖ ↑ ↗
← S 52.889020°
W 19.066773°		 ← 184.28 m → S 52.889020°
W 19.064026°		 →
↑
184.31 m
↓
↑
184.31 m
↓
S 52.890678°
W 19.066773°		 ← 184.27 m →
33 965 m²		 S 52.890678°
W 19.064026°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58594 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88308 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447040557861328 y=0.673740386962891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447040557861328 × 217)
    floor (0.447040557861328 × 131072)
    floor (58594.5)     		tx = 58594
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.673740386962891 × 217)
    floor (0.673740386962891 × 131072)
    floor (88308.5)     		ty = 88308
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58594 / 88308 ti = "17/58594/88308"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58594/88308.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58594 ÷ 217
    58594 ÷ 131072     		x = 0.447036743164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88308 ÷ 217
    88308 ÷ 131072     		y = 0.673736572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447036743164062 × 2 - 1) × π
    -0.105926513671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33277796
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.673736572265625 × 2 - 1) × π
    -0.34747314453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.09161907814792
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33277796} λ = -0.33277796}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.09161907814792))-π/2
    2×atan(0.335672573372387)-π/2
    2×0.323854390912073-π/2
    0.647708781824145-1.57079632675     		φ = -0.92308754
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33277796} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.066773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92308754 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.889020°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58594 KachelY 88308 -0.33277796 -0.92308754 -19.066773 -52.889020
    Oben rechts KachelX + 1 58595 KachelY 88308 -0.33273002 -0.92308754 -19.064026 -52.889020
    Unten links KachelX 58594 KachelY + 1 88309 -0.33277796 -0.92311647 -19.066773 -52.890678
    Unten rechts KachelX + 1 58595 KachelY + 1 88309 -0.33273002 -0.92311647 -19.064026 -52.890678
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92308754--0.92311647) × R
    2.89299999999271e-05 × 6371000     		dl = 184.313029999535m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92308754--0.92311647) × R
    2.89299999999271e-05 × 6371000     		dr = 184.313029999535m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33277796--0.33273002) × cos(-0.92308754) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.60336082111021 × 6371000     		do = 184.281925274473m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33277796--0.33273002) × cos(-0.92311647) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.60333775009926 × 6371000     		du = 184.274878793881m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92308754)-sin(-0.92311647))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.60336082111021-0.60333775009926)×R²
    abs(-0.33273002--0.33277796)×2.30710109505594e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.30710109505594e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.30710109505594e-05×40589641000000     		ar = 33964.9106447928m²