Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58594 / 87196
↖ ↑ ↗
← S 51.006842°
W 19.066773°		 ← 192.18 m → S 51.006842°
W 19.064026°		 →
↑
192.15 m
↓
↑
192.15 m
↓
S 51.008570°
W 19.066773°		 ← 192.18 m →
36 927 m²		 S 51.008570°
W 19.064026°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58594 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87196 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447040557861328 y=0.665256500244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447040557861328 × 217)
    floor (0.447040557861328 × 131072)
    floor (58594.5)     		tx = 58594
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.665256500244141 × 217)
    floor (0.665256500244141 × 131072)
    floor (87196.5)     		ty = 87196
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58594 / 87196 ti = "17/58594/87196"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58594/87196.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58594 ÷ 217
    58594 ÷ 131072     		x = 0.447036743164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87196 ÷ 217
    87196 ÷ 131072     		y = 0.665252685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447036743164062 × 2 - 1) × π
    -0.105926513671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33277796
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.665252685546875 × 2 - 1) × π
    -0.33050537109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.03831324577042
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33277796} λ = -0.33277796}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03831324577042))-π/2
    2×atan(0.354051376235364)-π/2
    2×0.340279494064017-π/2
    0.680558988128034-1.57079632675     		φ = -0.89023734
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33277796} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.066773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89023734 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.006842°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58594 KachelY 87196 -0.33277796 -0.89023734 -19.066773 -51.006842
    Oben rechts KachelX + 1 58595 KachelY 87196 -0.33273002 -0.89023734 -19.064026 -51.006842
    Unten links KachelX 58594 KachelY + 1 87197 -0.33277796 -0.89026750 -19.066773 -51.008570
    Unten rechts KachelX + 1 58595 KachelY + 1 87197 -0.33273002 -0.89026750 -19.064026 -51.008570
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89023734--0.89026750) × R
    3.01600000000013e-05 × 6371000     		dl = 192.149360000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89023734--0.89026750) × R
    3.01600000000013e-05 × 6371000     		dr = 192.149360000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33277796--0.33273002) × cos(-0.89023734) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.629227578639394 × 6371000     		do = 192.182298834219m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33277796--0.33273002) × cos(-0.89026750) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.629204137364531 × 6371000     		du = 192.175139265497m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89023734)-sin(-0.89026750))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.629227578639394-0.629204137364531)×R²
    abs(-0.33273002--0.33277796)×2.34412748635338e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34412748635338e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34412748635338e-05×40589641000000     		ar = 36927.0178738245m²