Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58593 / 87711
↖ ↑ ↗
← S 51.888359°
W 19.069519°		 ← 188.47 m → S 51.888359°
W 19.066773°		 →
↑
188.52 m
↓
↑
188.52 m
↓
S 51.890054°
W 19.069519°		 ← 188.46 m →
35 529 m²		 S 51.890054°
W 19.066773°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58593 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87711 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447032928466797 y=0.669185638427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447032928466797 × 217)
    floor (0.447032928466797 × 131072)
    floor (58593.5)     		tx = 58593
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.669185638427734 × 217)
    floor (0.669185638427734 × 131072)
    floor (87711.5)     		ty = 87711
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58593 / 87711 ti = "17/58593/87711"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58593/87711.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58593 ÷ 217
    58593 ÷ 131072     		x = 0.447029113769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87711 ÷ 217
    87711 ÷ 131072     		y = 0.669181823730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447029113769531 × 2 - 1) × π
    -0.105941772460938 × 3.1415926535     		Λ = -0.33282589
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.669181823730469 × 2 - 1) × π
    -0.338363647460938 × 3.1415926535     		Φ = -1.06300074907475
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33282589} λ = -0.33282589}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.06300074907475))-π/2
    2×atan(0.345417741648527)-π/2
    2×0.332586811249712-π/2
    0.665173622499425-1.57079632675     		φ = -0.90562270
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33282589} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.069519°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90562270 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.888359°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58593 KachelY 87711 -0.33282589 -0.90562270 -19.069519 -51.888359
    Oben rechts KachelX + 1 58594 KachelY 87711 -0.33277796 -0.90562270 -19.066773 -51.888359
    Unten links KachelX 58593 KachelY + 1 87712 -0.33282589 -0.90565229 -19.069519 -51.890054
    Unten rechts KachelX + 1 58594 KachelY + 1 87712 -0.33277796 -0.90565229 -19.066773 -51.890054
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90562270--0.90565229) × R
    2.95900000000238e-05 × 6371000     		dl = 188.517890000151m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90562270--0.90565229) × R
    2.95900000000238e-05 × 6371000     		dr = 188.517890000151m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33282589--0.33277796) × cos(-0.90562270) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.617195753265639 × 6371000     		do = 188.46814812469m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33282589--0.33277796) × cos(-0.90565229) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.617172471298336 × 6371000     		du = 188.461038695892m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90562270)-sin(-0.90565229))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.617195753265639-0.617172471298336)×R²
    abs(-0.33277796--0.33282589)×2.3281967302613e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.3281967302613e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.3281967302613e-05×40589641000000     		ar = 35528.9474919445m²