Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58588 / 88468
↖ ↑ ↗
← S 53.153359°
W 19.083252°		 ← 183.16 m → S 53.153359°
W 19.080505°		 →
↑
183.17 m
↓
↑
183.17 m
↓
S 53.155006°
W 19.083252°		 ← 183.15 m →
33 547 m²		 S 53.155006°
W 19.080505°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58588 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88468 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446994781494141 y=0.674961090087891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446994781494141 × 217)
    floor (0.446994781494141 × 131072)
    floor (58588.5)     		tx = 58588
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.674961090087891 × 217)
    floor (0.674961090087891 × 131072)
    floor (88468.5)     		ty = 88468
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58588 / 88468 ti = "17/58588/88468"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58588/88468.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58588 ÷ 217
    58588 ÷ 131072     		x = 0.446990966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88468 ÷ 217
    88468 ÷ 131072     		y = 0.674957275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446990966796875 × 2 - 1) × π
    -0.10601806640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33306558
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.674957275390625 × 2 - 1) × π
    -0.34991455078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.09928898208713
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33306558} λ = -0.33306558}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.09928898208713))-π/2
    2×atan(0.333107845162113)-π/2
    2×0.321547601316274-π/2
    0.643095202632548-1.57079632675     		φ = -0.92770112
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33306558} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.083252°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92770112 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.153359°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58588 KachelY 88468 -0.33306558 -0.92770112 -19.083252 -53.153359
    Oben rechts KachelX + 1 58589 KachelY 88468 -0.33301764 -0.92770112 -19.080505 -53.153359
    Unten links KachelX 58588 KachelY + 1 88469 -0.33306558 -0.92772987 -19.083252 -53.155006
    Unten rechts KachelX + 1 58589 KachelY + 1 88469 -0.33301764 -0.92772987 -19.080505 -53.155006
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92770112--0.92772987) × R
    2.87499999999108e-05 × 6371000     		dl = 183.166249999432m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92770112--0.92772987) × R
    2.87499999999108e-05 × 6371000     		dr = 183.166249999432m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33306558--0.33301764) × cos(-0.92770112) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.599675228983277 × 6371000     		do = 183.156250571979m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33306558--0.33301764) × cos(-0.92772987) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.599652221735532 × 6371000     		du = 183.149223566311m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92770112)-sin(-0.92772987))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.599675228983277-0.599652221735532)×R²
    abs(-0.33301764--0.33306558)×2.30072477458432e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.30072477458432e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.30072477458432e-05×40589641000000     		ar = 33547.400028485m²