Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58588 / 88365
↖ ↑ ↗
← S 52.983377°
W 19.083252°		 ← 183.88 m → S 52.983377°
W 19.080505°		 →
↑
183.87 m
↓
↑
183.87 m
↓
S 52.985030°
W 19.083252°		 ← 183.87 m →
33 809 m²		 S 52.985030°
W 19.080505°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58588 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88365 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446994781494141 y=0.674175262451172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446994781494141 × 217)
    floor (0.446994781494141 × 131072)
    floor (58588.5)     		tx = 58588
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.674175262451172 × 217)
    floor (0.674175262451172 × 131072)
    floor (88365.5)     		ty = 88365
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58588 / 88365 ti = "17/58588/88365"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58588/88365.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58588 ÷ 217
    58588 ÷ 131072     		x = 0.446990966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88365 ÷ 217
    88365 ÷ 131072     		y = 0.674171447753906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446990966796875 × 2 - 1) × π
    -0.10601806640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33306558
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.674171447753906 × 2 - 1) × π
    -0.348342895507812 × 3.1415926535     		Φ = -1.09435148142626
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33306558} λ = -0.33306558}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.09435148142626))-π/2
    2×atan(0.334756632462297)-π/2
    2×0.323030976185703-π/2
    0.646061952371406-1.57079632675     		φ = -0.92473437
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33306558} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.083252°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92473437 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.983377°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58588 KachelY 88365 -0.33306558 -0.92473437 -19.083252 -52.983377
    Oben rechts KachelX + 1 58589 KachelY 88365 -0.33301764 -0.92473437 -19.080505 -52.983377
    Unten links KachelX 58588 KachelY + 1 88366 -0.33306558 -0.92476323 -19.083252 -52.985030
    Unten rechts KachelX + 1 58589 KachelY + 1 88366 -0.33301764 -0.92476323 -19.080505 -52.985030
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92473437--0.92476323) × R
    2.88600000000194e-05 × 6371000     		dl = 183.867060000124m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92473437--0.92476323) × R
    2.88600000000194e-05 × 6371000     		dr = 183.867060000124m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33306558--0.33301764) × cos(-0.92473437) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.602046708780434 × 6371000     		do = 183.880561543921m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33306558--0.33301764) × cos(-0.92476323) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.602023664949015 × 6371000     		du = 183.873523364657m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92473437)-sin(-0.92476323))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.602046708780434-0.602023664949015)×R²
    abs(-0.33301764--0.33306558)×2.3043831418712e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.3043831418712e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.3043831418712e-05×40589641000000     		ar = 33808.931199917m²