Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58587 / 87719
↖ ↑ ↗
← S 51.901918°
W 19.085999°		 ← 188.45 m → S 51.901918°
W 19.083252°		 →
↑
188.45 m
↓
↑
188.45 m
↓
S 51.903613°
W 19.085999°		 ← 188.44 m →
35 514 m²		 S 51.903613°
W 19.083252°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58587 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87719 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446987152099609 y=0.669246673583984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446987152099609 × 217)
    floor (0.446987152099609 × 131072)
    floor (58587.5)     		tx = 58587
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.669246673583984 × 217)
    floor (0.669246673583984 × 131072)
    floor (87719.5)     		ty = 87719
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58587 / 87719 ti = "17/58587/87719"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58587/87719.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58587 ÷ 217
    58587 ÷ 131072     		x = 0.446983337402344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87719 ÷ 217
    87719 ÷ 131072     		y = 0.669242858886719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446983337402344 × 2 - 1) × π
    -0.106033325195312 × 3.1415926535     		Λ = -0.33311352
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.669242858886719 × 2 - 1) × π
    -0.338485717773438 × 3.1415926535     		Φ = -1.06338424427171
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33311352} λ = -0.33311352}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.06338424427171))-π/2
    2×atan(0.34528530100046)-π/2
    2×0.332468483300885-π/2
    0.664936966601769-1.57079632675     		φ = -0.90585936
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33311352} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.085999°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90585936 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.901918°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58587 KachelY 87719 -0.33311352 -0.90585936 -19.085999 -51.901918
    Oben rechts KachelX + 1 58588 KachelY 87719 -0.33306558 -0.90585936 -19.083252 -51.901918
    Unten links KachelX 58587 KachelY + 1 87720 -0.33311352 -0.90588894 -19.085999 -51.903613
    Unten rechts KachelX + 1 58588 KachelY + 1 87720 -0.33306558 -0.90588894 -19.083252 -51.903613
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90585936--0.90588894) × R
    2.95799999999735e-05 × 6371000     		dl = 188.454179999831m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90585936--0.90588894) × R
    2.95799999999735e-05 × 6371000     		dr = 188.454179999831m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33311352--0.33306558) × cos(-0.90585936) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.617009529615158 × 6371000     		do = 188.450592169638m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33311352--0.33306558) × cos(-0.90588894) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.616986251196249 × 6371000     		du = 188.443482341317m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90585936)-sin(-0.90588894))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.617009529615158-0.616986251196249)×R²
    abs(-0.33306558--0.33311352)×2.32784189092561e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.32784189092561e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.32784189092561e-05×40589641000000     		ar = 35513.6318817993m²