Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58586 / 88529
↖ ↑ ↗
← S 53.253712°
W 19.088745°		 ← 182.69 m → S 53.253712°
W 19.085999°		 →
↑
182.72 m
↓
↑
182.72 m
↓
S 53.255355°
W 19.088745°		 ← 182.68 m →
33 380 m²		 S 53.255355°
W 19.085999°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58586 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88529 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446979522705078 y=0.675426483154297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446979522705078 × 217)
    floor (0.446979522705078 × 131072)
    floor (58586.5)     		tx = 58586
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.675426483154297 × 217)
    floor (0.675426483154297 × 131072)
    floor (88529.5)     		ty = 88529
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58586 / 88529 ti = "17/58586/88529"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58586/88529.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58586 ÷ 217
    58586 ÷ 131072     		x = 0.446975708007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88529 ÷ 217
    88529 ÷ 131072     		y = 0.675422668457031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446975708007812 × 2 - 1) × π
    -0.106048583984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.33316145
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.675422668457031 × 2 - 1) × π
    -0.350845336914062 × 3.1415926535     		Φ = -1.10221313296395
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33316145} λ = -0.33316145}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.10221313296395))-π/2
    2×atan(0.332135210323169)-π/2
    2×0.320671856381858-π/2
    0.641343712763715-1.57079632675     		φ = -0.92945261
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33316145} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.088745°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92945261 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.253712°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58586 KachelY 88529 -0.33316145 -0.92945261 -19.088745 -53.253712
    Oben rechts KachelX + 1 58587 KachelY 88529 -0.33311352 -0.92945261 -19.085999 -53.253712
    Unten links KachelX 58586 KachelY + 1 88530 -0.33316145 -0.92948129 -19.088745 -53.255355
    Unten rechts KachelX + 1 58587 KachelY + 1 88530 -0.33311352 -0.92948129 -19.085999 -53.255355
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92945261--0.92948129) × R
    2.86800000000031e-05 × 6371000     		dl = 182.72028000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92945261--0.92948129) × R
    2.86800000000031e-05 × 6371000     		dr = 182.72028000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33316145--0.33311352) × cos(-0.92945261) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.598272691438592 × 6371000     		do = 182.689763551364m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33316145--0.33311352) × cos(-0.92948129) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.598249710121565 × 6371000     		du = 182.682745929744m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92945261)-sin(-0.92948129))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.598272691438592-0.598249710121565)×R²
    abs(-0.33311352--0.33316145)×2.29813170273818e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.29813170273818e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.29813170273818e-05×40589641000000     		ar = 33380.4836207173m²