Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58583 / 86993
↖ ↑ ↗
← S 50.654685°
W 19.096985°		 ← 193.60 m → S 50.654685°
W 19.094239°		 →
↑
193.61 m
↓
↑
193.61 m
↓
S 50.656426°
W 19.096985°		 ← 193.59 m →
37 483 m²		 S 50.656426°
W 19.094239°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58583 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86993 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446956634521484 y=0.663707733154297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446956634521484 × 217)
    floor (0.446956634521484 × 131072)
    floor (58583.5)     		tx = 58583
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663707733154297 × 217)
    floor (0.663707733154297 × 131072)
    floor (86993.5)     		ty = 86993
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58583 / 86993 ti = "17/58583/86993"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58583/86993.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58583 ÷ 217
    58583 ÷ 131072     		x = 0.446952819824219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86993 ÷ 217
    86993 ÷ 131072     		y = 0.663703918457031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446952819824219 × 2 - 1) × π
    -0.106094360351562 × 3.1415926535     		Λ = -0.33330526
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.663703918457031 × 2 - 1) × π
    -0.327407836914062 × 3.1415926535     		Φ = -1.02858205514754
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33330526} λ = -0.33330526}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02858205514754))-π/2
    2×atan(0.357513535814182)-π/2
    2×0.34335264851033-π/2
    0.686705297020661-1.57079632675     		φ = -0.88409103
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33330526} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.096985°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88409103 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.654685°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58583 KachelY 86993 -0.33330526 -0.88409103 -19.096985 -50.654685
    Oben rechts KachelX + 1 58584 KachelY 86993 -0.33325733 -0.88409103 -19.094239 -50.654685
    Unten links KachelX 58583 KachelY + 1 86994 -0.33330526 -0.88412142 -19.096985 -50.656426
    Unten rechts KachelX + 1 58584 KachelY + 1 86994 -0.33325733 -0.88412142 -19.094239 -50.656426
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88409103--0.88412142) × R
    3.03900000000468e-05 × 6371000     		dl = 193.614690000298m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88409103--0.88412142) × R
    3.03900000000468e-05 × 6371000     		dr = 193.614690000298m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33330526--0.33325733) × cos(-0.88409103) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.633992705277143 × 6371000     		do = 193.597299488514m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33330526--0.33325733) × cos(-0.88412142) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.633969203211373 × 6371000     		du = 193.590122850002m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88409103)-sin(-0.88412142))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.633992705277143-0.633969203211373)×R²
    abs(-0.33325733--0.33330526)×2.35020657693985e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.35020657693985e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.35020657693985e-05×40589641000000     		ar = 37482.5863767251m²