Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58581 / 88400
↖ ↑ ↗
← S 53.041213°
W 19.102478°		 ← 183.63 m → S 53.041213°
W 19.099731°		 →
↑
183.61 m
↓
↑
183.61 m
↓
S 53.042864°
W 19.102478°		 ← 183.63 m →
33 717 m²		 S 53.042864°
W 19.099731°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58581 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88400 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446941375732422 y=0.674442291259766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446941375732422 × 217)
    floor (0.446941375732422 × 131072)
    floor (58581.5)     		tx = 58581
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.674442291259766 × 217)
    floor (0.674442291259766 × 131072)
    floor (88400.5)     		ty = 88400
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58581 / 88400 ti = "17/58581/88400"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58581/88400.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58581 ÷ 217
    58581 ÷ 131072     		x = 0.446937561035156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88400 ÷ 217
    88400 ÷ 131072     		y = 0.6744384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446937561035156 × 2 - 1) × π
    -0.106124877929688 × 3.1415926535     		Λ = -0.33340114
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6744384765625 × 2 - 1) × π
    -0.348876953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.09602927291296
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33340114} λ = -0.33340114}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.09602927291296))-π/2
    2×atan(0.334195451538166)-π/2
    2×0.322526260000389-π/2
    0.645052520000778-1.57079632675     		φ = -0.92574381
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33340114} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.102478°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92574381 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.041213°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58581 KachelY 88400 -0.33340114 -0.92574381 -19.102478 -53.041213
    Oben rechts KachelX + 1 58582 KachelY 88400 -0.33335320 -0.92574381 -19.099731 -53.041213
    Unten links KachelX 58581 KachelY + 1 88401 -0.33340114 -0.92577263 -19.102478 -53.042864
    Unten rechts KachelX + 1 58582 KachelY + 1 88401 -0.33335320 -0.92577263 -19.099731 -53.042864
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92574381--0.92577263) × R
    2.88200000000405e-05 × 6371000     		dl = 183.612220000258m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92574381--0.92577263) × R
    2.88200000000405e-05 × 6371000     		dr = 183.612220000258m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33340114--0.33335320) × cos(-0.92574381) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.601240403843528 × 6371000     		do = 183.634295261688m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33340114--0.33335320) × cos(-0.92577263) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.601217374448521 × 6371000     		du = 183.627261491676m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92574381)-sin(-0.92577263))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.601240403843528-0.601217374448521)×R²
    abs(-0.33335320--0.33340114)×2.30293950069793e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.30293950069793e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.30293950069793e-05×40589641000000     		ar = 33716.8548805127m²