Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58580 / 88394
↖ ↑ ↗
← S 53.031304°
W 19.105224°		 ← 183.64 m → S 53.031304°
W 19.102478°		 →
↑
183.61 m
↓
↑
183.61 m
↓
S 53.032955°
W 19.105224°		 ← 183.63 m →
33 718 m²		 S 53.032955°
W 19.102478°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58580 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88394 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446933746337891 y=0.674396514892578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446933746337891 × 217)
    floor (0.446933746337891 × 131072)
    floor (58580.5)     		tx = 58580
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.674396514892578 × 217)
    floor (0.674396514892578 × 131072)
    floor (88394.5)     		ty = 88394
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58580 / 88394 ti = "17/58580/88394"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58580/88394.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58580 ÷ 217
    58580 ÷ 131072     		x = 0.446929931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88394 ÷ 217
    88394 ÷ 131072     		y = 0.674392700195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446929931640625 × 2 - 1) × π
    -0.10614013671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33344907
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.674392700195312 × 2 - 1) × π
    -0.348785400390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.09574165151524
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33344907} λ = -0.33344907}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.09574165151524))-π/2
    2×atan(0.334291587125712)-π/2
    2×0.322612734739812-π/2
    0.645225469479623-1.57079632675     		φ = -0.92557086
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33344907} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.105224°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92557086 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.031304°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58580 KachelY 88394 -0.33344907 -0.92557086 -19.105224 -53.031304
    Oben rechts KachelX + 1 58581 KachelY 88394 -0.33340114 -0.92557086 -19.102478 -53.031304
    Unten links KachelX 58580 KachelY + 1 88395 -0.33344907 -0.92559968 -19.105224 -53.032955
    Unten rechts KachelX + 1 58581 KachelY + 1 88395 -0.33340114 -0.92559968 -19.102478 -53.032955
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92557086--0.92559968) × R
    2.88200000000405e-05 × 6371000     		dl = 183.612220000258m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92557086--0.92559968) × R
    2.88200000000405e-05 × 6371000     		dr = 183.612220000258m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33344907--0.33340114) × cos(-0.92557086) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.601378593694726 × 6371000     		do = 183.638188169279m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33344907--0.33340114) × cos(-0.92559968) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.60135556729684 × 6371000     		du = 183.631156781677m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92557086)-sin(-0.92559968))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.601378593694726-0.60135556729684)×R²
    abs(-0.33340114--0.33344907)×2.30263978857614e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.30263978857614e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.30263978857614e-05×40589641000000     		ar = 33717.5698845095m²