Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58579 / 88401
↖ ↑ ↗
← S 53.042864°
W 19.107971°		 ← 183.63 m → S 53.042864°
W 19.105224°		 →
↑
183.61 m
↓
↑
183.61 m
↓
S 53.044516°
W 19.107971°		 ← 183.62 m →
33 716 m²		 S 53.044516°
W 19.105224°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58579 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88401 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446926116943359 y=0.674449920654297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446926116943359 × 217)
    floor (0.446926116943359 × 131072)
    floor (58579.5)     		tx = 58579
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.674449920654297 × 217)
    floor (0.674449920654297 × 131072)
    floor (88401.5)     		ty = 88401
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58579 / 88401 ti = "17/58579/88401"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58579/88401.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58579 ÷ 217
    58579 ÷ 131072     		x = 0.446922302246094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88401 ÷ 217
    88401 ÷ 131072     		y = 0.674446105957031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446922302246094 × 2 - 1) × π
    -0.106155395507812 × 3.1415926535     		Λ = -0.33349701
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.674446105957031 × 2 - 1) × π
    -0.348892211914062 × 3.1415926535     		Φ = -1.09607720981258
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33349701} λ = -0.33349701}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.09607720981258))-π/2
    2×atan(0.334179431628328)-π/2
    2×0.322511849475884-π/2
    0.645023698951769-1.57079632675     		φ = -0.92577263
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33349701} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.107971°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92577263 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.042864°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58579 KachelY 88401 -0.33349701 -0.92577263 -19.107971 -53.042864
    Oben rechts KachelX + 1 58580 KachelY 88401 -0.33344907 -0.92577263 -19.105224 -53.042864
    Unten links KachelX 58579 KachelY + 1 88402 -0.33349701 -0.92580145 -19.107971 -53.044516
    Unten rechts KachelX + 1 58580 KachelY + 1 88402 -0.33344907 -0.92580145 -19.105224 -53.044516
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92577263--0.92580145) × R
    2.88200000000405e-05 × 6371000     		dl = 183.612220000258m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92577263--0.92580145) × R
    2.88200000000405e-05 × 6371000     		dr = 183.612220000258m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33349701--0.33344907) × cos(-0.92577263) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.601217374448521 × 6371000     		do = 183.627261491676m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33349701--0.33344907) × cos(-0.92580145) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.601194344554147 × 6371000     		du = 183.620227569145m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92577263)-sin(-0.92580145))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.601217374448521-0.601194344554147)×R²
    abs(-0.33344907--0.33349701)×2.30298943735274e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.30298943735274e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.30298943735274e-05×40589641000000     		ar = 33715.5633802731m²