Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58578 / 88398
↖ ↑ ↗
← S 53.037910°
W 19.110718°		 ← 183.65 m → S 53.037910°
W 19.107971°		 →
↑
183.61 m
↓
↑
183.61 m
↓
S 53.039561°
W 19.110718°		 ← 183.64 m →
33 719 m²		 S 53.039561°
W 19.107971°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58578 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88398 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446918487548828 y=0.674427032470703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446918487548828 × 217)
    floor (0.446918487548828 × 131072)
    floor (58578.5)     		tx = 58578
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.674427032470703 × 217)
    floor (0.674427032470703 × 131072)
    floor (88398.5)     		ty = 88398
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58578 / 88398 ti = "17/58578/88398"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58578/88398.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58578 ÷ 217
    58578 ÷ 131072     		x = 0.446914672851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88398 ÷ 217
    88398 ÷ 131072     		y = 0.674423217773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446914672851562 × 2 - 1) × π
    -0.106170654296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33354495
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.674423217773438 × 2 - 1) × π
    -0.348846435546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.09593339911372
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33354495} λ = -0.33354495}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.09593339911372))-π/2
    2×atan(0.334227493661769)-π/2
    2×0.322555082705418-π/2
    0.645110165410835-1.57079632675     		φ = -0.92568616
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33354495} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.110718°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92568616 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.037910°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58578 KachelY 88398 -0.33354495 -0.92568616 -19.110718 -53.037910
    Oben rechts KachelX + 1 58579 KachelY 88398 -0.33349701 -0.92568616 -19.107971 -53.037910
    Unten links KachelX 58578 KachelY + 1 88399 -0.33354495 -0.92571498 -19.110718 -53.039561
    Unten rechts KachelX + 1 58579 KachelY + 1 88399 -0.33349701 -0.92571498 -19.107971 -53.039561
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92568616--0.92571498) × R
    2.88199999999295e-05 × 6371000     		dl = 183.612219999551m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92568616--0.92571498) × R
    2.88199999999295e-05 × 6371000     		dr = 183.612219999551m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33354495--0.33349701) × cos(-0.92568616) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.6012864691257 × 6371000     		do = 183.648364784796m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33354495--0.33349701) × cos(-0.92571498) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.601263440729657 × 6371000     		du = 183.641331319894m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92568616)-sin(-0.92571498))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.6012864691257-0.601263440729657)×R²
    abs(-0.33349701--0.33354495)×2.30283960429567e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.30283960429567e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.30283960429567e-05×40589641000000     		ar = 33719.4382446172m²