Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58578 / 88393
↖ ↑ ↗
← S 53.029652°
W 19.110718°		 ← 183.68 m → S 53.029652°
W 19.107971°		 →
↑
183.68 m
↓
↑
183.68 m
↓
S 53.031304°
W 19.110718°		 ← 183.68 m →
33 738 m²		 S 53.031304°
W 19.107971°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58578 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88393 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446918487548828 y=0.674388885498047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446918487548828 × 217)
    floor (0.446918487548828 × 131072)
    floor (58578.5)     		tx = 58578
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.674388885498047 × 217)
    floor (0.674388885498047 × 131072)
    floor (88393.5)     		ty = 88393
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58578 / 88393 ti = "17/58578/88393"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58578/88393.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58578 ÷ 217
    58578 ÷ 131072     		x = 0.446914672851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88393 ÷ 217
    88393 ÷ 131072     		y = 0.674385070800781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446914672851562 × 2 - 1) × π
    -0.106170654296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33354495
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.674385070800781 × 2 - 1) × π
    -0.348770141601562 × 3.1415926535     		Φ = -1.09569371461562
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33354495} λ = -0.33354495}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.09569371461562))-π/2
    2×atan(0.334307612412067)-π/2
    2×0.322627149128534-π/2
    0.645254298257067-1.57079632675     		φ = -0.92554203
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33354495} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.110718°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92554203 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.029652°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58578 KachelY 88393 -0.33354495 -0.92554203 -19.110718 -53.029652
    Oben rechts KachelX + 1 58579 KachelY 88393 -0.33349701 -0.92554203 -19.107971 -53.029652
    Unten links KachelX 58578 KachelY + 1 88394 -0.33354495 -0.92557086 -19.110718 -53.031304
    Unten rechts KachelX + 1 58579 KachelY + 1 88394 -0.33349701 -0.92557086 -19.107971 -53.031304
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92554203--0.92557086) × R
    2.88299999999797e-05 × 6371000     		dl = 183.675929999871m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92554203--0.92557086) × R
    2.88299999999797e-05 × 6371000     		dr = 183.675929999871m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33354495--0.33349701) × cos(-0.92554203) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.60140162758258 × 6371000     		do = 183.683537141706m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33354495--0.33349701) × cos(-0.92557086) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.601378593694726 × 6371000     		du = 183.676501999463m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92554203)-sin(-0.92557086))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.60140162758258-0.601378593694726)×R²
    abs(-0.33349701--0.33354495)×2.30338878539627e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.30338878539627e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.30338878539627e-05×40589641000000     		ar = 33737.5984194953m²