Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58577 / 88397
↖ ↑ ↗
← S 53.036259°
W 19.113464°		 ← 183.62 m → S 53.036259°
W 19.110718°		 →
↑
183.61 m
↓
↑
183.61 m
↓
S 53.037910°
W 19.113464°		 ← 183.61 m →
33 714 m²		 S 53.037910°
W 19.110718°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58577 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88397 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446910858154297 y=0.674419403076172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446910858154297 × 217)
    floor (0.446910858154297 × 131072)
    floor (58577.5)     		tx = 58577
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.674419403076172 × 217)
    floor (0.674419403076172 × 131072)
    floor (88397.5)     		ty = 88397
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58577 / 88397 ti = "17/58577/88397"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58577/88397.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58577 ÷ 217
    58577 ÷ 131072     		x = 0.446907043457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88397 ÷ 217
    88397 ÷ 131072     		y = 0.674415588378906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446907043457031 × 2 - 1) × π
    -0.106185913085938 × 3.1415926535     		Λ = -0.33359288
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.674415588378906 × 2 - 1) × π
    -0.348831176757812 × 3.1415926535     		Φ = -1.0958854622141
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33359288} λ = -0.33359288}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0958854622141))-π/2
    2×atan(0.334243515875608)-π/2
    2×0.32256949488596-π/2
    0.645138989771921-1.57079632675     		φ = -0.92565734
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33359288} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.113464°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92565734 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.036259°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58577 KachelY 88397 -0.33359288 -0.92565734 -19.113464 -53.036259
    Oben rechts KachelX + 1 58578 KachelY 88397 -0.33354495 -0.92565734 -19.110718 -53.036259
    Unten links KachelX 58577 KachelY + 1 88398 -0.33359288 -0.92568616 -19.113464 -53.037910
    Unten rechts KachelX + 1 58578 KachelY + 1 88398 -0.33354495 -0.92568616 -19.110718 -53.037910
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92565734--0.92568616) × R
    2.88200000000405e-05 × 6371000     		dl = 183.612220000258m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92565734--0.92568616) × R
    2.88200000000405e-05 × 6371000     		dr = 183.612220000258m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33359288--0.33354495) × cos(-0.92565734) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.601309497022319 × 6371000     		do = 183.617088668914m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33359288--0.33354495) × cos(-0.92568616) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.6012864691257 × 6371000     		du = 183.610056823656m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92565734)-sin(-0.92568616))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.601309497022319-0.6012864691257)×R²
    abs(-0.33354495--0.33359288)×2.30278966191211e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.30278966191211e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.30278966191211e-05×40589641000000     		ar = 33713.6957165566m²