Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58576 / 87845
↖ ↑ ↗
← S 52.114939°
W 19.116211°		 ← 187.56 m → S 52.114939°
W 19.113464°		 →
↑
187.50 m
↓
↑
187.50 m
↓
S 52.116626°
W 19.116211°		 ← 187.55 m →
35 166 m²		 S 52.116626°
W 19.113464°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58576 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87845 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446903228759766 y=0.670207977294922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446903228759766 × 217)
    floor (0.446903228759766 × 131072)
    floor (58576.5)     		tx = 58576
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.670207977294922 × 217)
    floor (0.670207977294922 × 131072)
    floor (87845.5)     		ty = 87845
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58576 / 87845 ti = "17/58576/87845"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58576/87845.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58576 ÷ 217
    58576 ÷ 131072     		x = 0.4468994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87845 ÷ 217
    87845 ÷ 131072     		y = 0.670204162597656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4468994140625 × 2 - 1) × π
    -0.106201171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33364082
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.670204162597656 × 2 - 1) × π
    -0.340408325195312 × 3.1415926535     		Φ = -1.06942429362383
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33364082} λ = -0.33364082}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.06942429362383))-π/2
    2×atan(0.343206046463174)-π/2
    2×0.33060952514205-π/2
    0.6612190502841-1.57079632675     		φ = -0.90957728
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33364082} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.116211°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90957728 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.114939°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58576 KachelY 87845 -0.33364082 -0.90957728 -19.116211 -52.114939
    Oben rechts KachelX + 1 58577 KachelY 87845 -0.33359288 -0.90957728 -19.113464 -52.114939
    Unten links KachelX 58576 KachelY + 1 87846 -0.33364082 -0.90960671 -19.116211 -52.116626
    Unten rechts KachelX + 1 58577 KachelY + 1 87846 -0.33359288 -0.90960671 -19.113464 -52.116626
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90957728--0.90960671) × R
    2.9429999999997e-05 × 6371000     		dl = 187.498529999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90957728--0.90960671) × R
    2.9429999999997e-05 × 6371000     		dr = 187.498529999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33364082--0.33359288) × cos(-0.90957728) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.614079433663926 × 6371000     		do = 187.55566544568m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33364082--0.33359288) × cos(-0.90960671) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.614056205940407 × 6371000     		du = 187.548571101035m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90957728)-sin(-0.90960671))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.614079433663926-0.614056205940407)×R²
    abs(-0.33359288--0.33364082)×2.3227723518926e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.3227723518926e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.3227723518926e-05×40589641000000     		ar = 35165.7464771441m²