Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58576 / 87794
↖ ↑ ↗
← S 52.028839°
W 19.116211°		 ← 187.92 m → S 52.028839°
W 19.113464°		 →
↑
187.88 m
↓
↑
187.88 m
↓
S 52.030528°
W 19.116211°		 ← 187.91 m →
35 305 m²		 S 52.030528°
W 19.113464°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58576 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87794 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446903228759766 y=0.669818878173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446903228759766 × 217)
    floor (0.446903228759766 × 131072)
    floor (58576.5)     		tx = 58576
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.669818878173828 × 217)
    floor (0.669818878173828 × 131072)
    floor (87794.5)     		ty = 87794
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58576 / 87794 ti = "17/58576/87794"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58576/87794.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58576 ÷ 217
    58576 ÷ 131072     		x = 0.4468994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87794 ÷ 217
    87794 ÷ 131072     		y = 0.669815063476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4468994140625 × 2 - 1) × π
    -0.106201171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33364082
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.669815063476562 × 2 - 1) × π
    -0.339630126953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.06697951174321
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33364082} λ = -0.33364082}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.06697951174321))-π/2
    2×atan(0.344046136887379)-π/2
    2×0.331360894661263-π/2
    0.662721789322525-1.57079632675     		φ = -0.90807454
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33364082} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.116211°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90807454 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.028839°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58576 KachelY 87794 -0.33364082 -0.90807454 -19.116211 -52.028839
    Oben rechts KachelX + 1 58577 KachelY 87794 -0.33359288 -0.90807454 -19.113464 -52.028839
    Unten links KachelX 58576 KachelY + 1 87795 -0.33364082 -0.90810403 -19.116211 -52.030528
    Unten rechts KachelX + 1 58577 KachelY + 1 87795 -0.33359288 -0.90810403 -19.113464 -52.030528
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90807454--0.90810403) × R
    2.94899999999654e-05 × 6371000     		dl = 187.880789999779m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90807454--0.90810403) × R
    2.94899999999654e-05 × 6371000     		dr = 187.880789999779m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33364082--0.33359288) × cos(-0.90807454) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.615264768721149 × 6371000     		do = 187.91769728268m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33364082--0.33359288) × cos(-0.90810403) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.615241520881068 × 6371000     		du = 187.91059679392m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90807454)-sin(-0.90810403))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.615264768721149-0.615241520881068)×R²
    abs(-0.33359288--0.33364082)×2.32478400806757e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.32478400806757e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.32478400806757e-05×40589641000000     		ar = 35305.4584002056m²