Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58575 / 88339
↖ ↑ ↗
← S 52.940362°
W 19.118958°		 ← 184.06 m → S 52.940362°
W 19.116211°		 →
↑
184.06 m
↓
↑
184.06 m
↓
S 52.942018°
W 19.118958°		 ← 184.06 m →
33 878 m²		 S 52.942018°
W 19.116211°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58575 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88339 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446895599365234 y=0.673976898193359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446895599365234 × 217)
    floor (0.446895599365234 × 131072)
    floor (58575.5)     		tx = 58575
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.673976898193359 × 217)
    floor (0.673976898193359 × 131072)
    floor (88339.5)     		ty = 88339
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58575 / 88339 ti = "17/58575/88339"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58575/88339.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58575 ÷ 217
    58575 ÷ 131072     		x = 0.446891784667969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88339 ÷ 217
    88339 ÷ 131072     		y = 0.673973083496094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446891784667969 × 2 - 1) × π
    -0.106216430664062 × 3.1415926535     		Λ = -0.33368876
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.673973083496094 × 2 - 1) × π
    -0.347946166992188 × 3.1415926535     		Φ = -1.09310512203614
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33368876} λ = -0.33368876}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.09310512203614))-π/2
    2×atan(0.335174119650066)-π/2
    2×0.323406346180008-π/2
    0.646812692360016-1.57079632675     		φ = -0.92398363
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33368876} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.118958°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92398363 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.940362°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58575 KachelY 88339 -0.33368876 -0.92398363 -19.118958 -52.940362
    Oben rechts KachelX + 1 58576 KachelY 88339 -0.33364082 -0.92398363 -19.116211 -52.940362
    Unten links KachelX 58575 KachelY + 1 88340 -0.33368876 -0.92401252 -19.118958 -52.942018
    Unten rechts KachelX + 1 58576 KachelY + 1 88340 -0.33364082 -0.92401252 -19.116211 -52.942018
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92398363--0.92401252) × R
    2.88900000000591e-05 × 6371000     		dl = 184.058190000377m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92398363--0.92401252) × R
    2.88900000000591e-05 × 6371000     		dr = 184.058190000377m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33368876--0.33364082) × cos(-0.92398363) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.602645975577517 × 6371000     		do = 184.063593048664m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33368876--0.33364082) × cos(-0.92401252) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.602622920855718 × 6371000     		du = 184.056551543198m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92398363)-sin(-0.92401252))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.602645975577517-0.602622920855718)×R²
    abs(-0.33364082--0.33368876)×2.30547217990873e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.30547217990873e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.30547217990873e-05×40589641000000     		ar = 33877.7637604203m²