Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58575 / 87890
↖ ↑ ↗
← S 52.190773°
W 19.118958°		 ← 187.24 m → S 52.190773°
W 19.116211°		 →
↑
187.18 m
↓
↑
187.18 m
↓
S 52.192456°
W 19.118958°		 ← 187.23 m →
35 046 m²		 S 52.192456°
W 19.116211°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58575 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87890 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446895599365234 y=0.670551300048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446895599365234 × 217)
    floor (0.446895599365234 × 131072)
    floor (58575.5)     		tx = 58575
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.670551300048828 × 217)
    floor (0.670551300048828 × 131072)
    floor (87890.5)     		ty = 87890
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58575 / 87890 ti = "17/58575/87890"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58575/87890.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58575 ÷ 217
    58575 ÷ 131072     		x = 0.446891784667969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87890 ÷ 217
    87890 ÷ 131072     		y = 0.670547485351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446891784667969 × 2 - 1) × π
    -0.106216430664062 × 3.1415926535     		Λ = -0.33368876
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.670547485351562 × 2 - 1) × π
    -0.341094970703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.07158145410674
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33368876} λ = -0.33368876}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.07158145410674))-π/2
    2×atan(0.342466493895819)-π/2
    2×0.329947754889236-π/2
    0.659895509778473-1.57079632675     		φ = -0.91090082
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33368876} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.118958°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91090082 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.190773°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58575 KachelY 87890 -0.33368876 -0.91090082 -19.118958 -52.190773
    Oben rechts KachelX + 1 58576 KachelY 87890 -0.33364082 -0.91090082 -19.116211 -52.190773
    Unten links KachelX 58575 KachelY + 1 87891 -0.33368876 -0.91093020 -19.118958 -52.192456
    Unten rechts KachelX + 1 58576 KachelY + 1 87891 -0.33364082 -0.91093020 -19.116211 -52.192456
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91090082--0.91093020) × R
    2.93799999999678e-05 × 6371000     		dl = 187.179979999795m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91090082--0.91093020) × R
    2.93799999999678e-05 × 6371000     		dr = 187.179979999795m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33368876--0.33364082) × cos(-0.91090082) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.613034299806049 × 6371000     		do = 187.236454663521m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33368876--0.33364082) × cos(-0.91093020) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.613011087687562 × 6371000     		du = 187.229365085056m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91090082)-sin(-0.91093020))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.613034299806049-0.613011087687562)×R²
    abs(-0.33364082--0.33368876)×2.32121184872147e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.32121184872147e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.32121184872147e-05×40589641000000     		ar = 35046.2523280939m²