Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58575 / 87866
↖ ↑ ↗
← S 52.150344°
W 19.118958°		 ← 187.41 m → S 52.150344°
W 19.116211°		 →
↑
187.37 m
↓
↑
187.37 m
↓
S 52.152029°
W 19.118958°		 ← 187.40 m →
35 114 m²		 S 52.152029°
W 19.116211°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58575 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87866 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446895599365234 y=0.670368194580078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446895599365234 × 217)
    floor (0.446895599365234 × 131072)
    floor (58575.5)     		tx = 58575
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.670368194580078 × 217)
    floor (0.670368194580078 × 131072)
    floor (87866.5)     		ty = 87866
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58575 / 87866 ti = "17/58575/87866"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58575/87866.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58575 ÷ 217
    58575 ÷ 131072     		x = 0.446891784667969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87866 ÷ 217
    87866 ÷ 131072     		y = 0.670364379882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446891784667969 × 2 - 1) × π
    -0.106216430664062 × 3.1415926535     		Λ = -0.33368876
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.670364379882812 × 2 - 1) × π
    -0.340728759765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.07043096851585
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33368876} λ = -0.33368876}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.07043096851585))-π/2
    2×atan(0.342860723396602)-π/2
    2×0.330300558741613-π/2
    0.660601117483225-1.57079632675     		φ = -0.91019521
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33368876} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.118958°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91019521 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.150344°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58575 KachelY 87866 -0.33368876 -0.91019521 -19.118958 -52.150344
    Oben rechts KachelX + 1 58576 KachelY 87866 -0.33364082 -0.91019521 -19.116211 -52.150344
    Unten links KachelX 58575 KachelY + 1 87867 -0.33368876 -0.91022462 -19.118958 -52.152029
    Unten rechts KachelX + 1 58576 KachelY + 1 87867 -0.33364082 -0.91022462 -19.116211 -52.152029
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91019521--0.91022462) × R
    2.94100000000075e-05 × 6371000     		dl = 187.371110000048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91019521--0.91022462) × R
    2.94100000000075e-05 × 6371000     		dr = 187.371110000048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33368876--0.33364082) × cos(-0.91019521) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.613591618770778 × 6371000     		do = 187.40667422074m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33368876--0.33364082) × cos(-0.91022462) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.613568395677285 × 6371000     		du = 187.399581290225m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91019521)-sin(-0.91022462))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.613591618770778-0.613568395677285)×R²
    abs(-0.33364082--0.33368876)×2.32230934926747e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.32230934926747e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.32230934926747e-05×40589641000000     		ar = 35113.9320675375m²