Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58574 / 88338
↖ ↑ ↗
← S 52.938707°
W 19.121704°		 ← 184.07 m → S 52.938707°
W 19.118958°		 →
↑
184.06 m
↓
↑
184.06 m
↓
S 52.940362°
W 19.121704°		 ← 184.06 m →
33 879 m²		 S 52.940362°
W 19.118958°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58574 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88338 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446887969970703 y=0.673969268798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446887969970703 × 217)
    floor (0.446887969970703 × 131072)
    floor (58574.5)     		tx = 58574
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.673969268798828 × 217)
    floor (0.673969268798828 × 131072)
    floor (88338.5)     		ty = 88338
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58574 / 88338 ti = "17/58574/88338"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58574/88338.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58574 ÷ 217
    58574 ÷ 131072     		x = 0.446884155273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88338 ÷ 217
    88338 ÷ 131072     		y = 0.673965454101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446884155273438 × 2 - 1) × π
    -0.106231689453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33373670
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.673965454101562 × 2 - 1) × π
    -0.347930908203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.09305718513652
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33373670} λ = -0.33373670}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.09305718513652))-π/2
    2×atan(0.335190187243307)-π/2
    2×0.323420790946024-π/2
    0.646841581892048-1.57079632675     		φ = -0.92395474
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33373670} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.121704°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92395474 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.938707°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58574 KachelY 88338 -0.33373670 -0.92395474 -19.121704 -52.938707
    Oben rechts KachelX + 1 58575 KachelY 88338 -0.33368876 -0.92395474 -19.118958 -52.938707
    Unten links KachelX 58574 KachelY + 1 88339 -0.33373670 -0.92398363 -19.121704 -52.940362
    Unten rechts KachelX + 1 58575 KachelY + 1 88339 -0.33368876 -0.92398363 -19.118958 -52.940362
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92395474--0.92398363) × R
    2.88899999999481e-05 × 6371000     		dl = 184.05818999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92395474--0.92398363) × R
    2.88899999999481e-05 × 6371000     		dr = 184.05818999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33373670--0.33368876) × cos(-0.92395474) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.602669029796328 × 6371000     		do = 184.070634400718m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33373670--0.33368876) × cos(-0.92398363) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.602645975577517 × 6371000     		du = 184.063593048877m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92395474)-sin(-0.92398363))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.602669029796328-0.602645975577517)×R²
    abs(-0.33368876--0.33373670)×2.30542188113247e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.30542188113247e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.30542188113247e-05×40589641000000     		ar = 33879.0597931066m²