Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58574 / 87870
↖ ↑ ↗
← S 52.157085°
W 19.121704°		 ← 187.38 m → S 52.157085°
W 19.118958°		 →
↑
187.31 m
↓
↑
187.31 m
↓
S 52.158769°
W 19.121704°		 ← 187.37 m →
35 097 m²		 S 52.158769°
W 19.118958°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58574 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87870 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446887969970703 y=0.670398712158203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446887969970703 × 217)
    floor (0.446887969970703 × 131072)
    floor (58574.5)     		tx = 58574
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.670398712158203 × 217)
    floor (0.670398712158203 × 131072)
    floor (87870.5)     		ty = 87870
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58574 / 87870 ti = "17/58574/87870"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58574/87870.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58574 ÷ 217
    58574 ÷ 131072     		x = 0.446884155273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87870 ÷ 217
    87870 ÷ 131072     		y = 0.670394897460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446884155273438 × 2 - 1) × π
    -0.106231689453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33373670
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.670394897460938 × 2 - 1) × π
    -0.340789794921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.07062271611433
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33373670} λ = -0.33373670}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.07062271611433))-π/2
    2×atan(0.342794986978879)-π/2
    2×0.330241735835277-π/2
    0.660483471670554-1.57079632675     		φ = -0.91031286
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33373670} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.121704°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91031286 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.157085°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58574 KachelY 87870 -0.33373670 -0.91031286 -19.121704 -52.157085
    Oben rechts KachelX + 1 58575 KachelY 87870 -0.33368876 -0.91031286 -19.118958 -52.157085
    Unten links KachelX 58574 KachelY + 1 87871 -0.33373670 -0.91034226 -19.121704 -52.158769
    Unten rechts KachelX + 1 58575 KachelY + 1 87871 -0.33368876 -0.91034226 -19.118958 -52.158769
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91031286--0.91034226) × R
    2.93999999999572e-05 × 6371000     		dl = 187.307399999728m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91031286--0.91034226) × R
    2.93999999999572e-05 × 6371000     		dr = 187.307399999728m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33373670--0.33368876) × cos(-0.91031286) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.613498715315702 × 6371000     		do = 187.378299114442m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33373670--0.33368876) × cos(-0.91034226) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.613475497996467 × 6371000     		du = 187.371207947534m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91031286)-sin(-0.91034226))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.613498715315702-0.613475497996467)×R²
    abs(-0.33368876--0.33373670)×2.321731923427e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.321731923427e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.321731923427e-05×40589641000000     		ar = 35096.6779118941m²